【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第16讲 立体几何综合问题（含详解）.doc

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1、立体几何综合问题题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例1．如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。∵面，于D，∴。∴。∴。∵为在面上的射影。∴，即。∴。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。。3令，

2、解得：，与交集非空。∴满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例2．如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是与底面所成的角，∴tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO•t

3、an∠PAO=。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。∴就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。∴。3由，可知：面。所以，。在Rt中，。∴异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面

4、垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。∵四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，∴，。∴。∴面⊥。∵，，∴为正三角形。∴，∴。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴。点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。3