【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测 范例选讲）综合能力题选讲 第09讲 数列综合问题（含详解）.doc

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1、数列综合问题题型预测在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点．范例选讲例1已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．（Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成：，可知（Ⅰ）的结论又为（

2、Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．（Ⅰ）由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证．4（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：所以，所以，（Ⅲ）∵，∴∴等价于①依题意，①式应对任意恒成立．（1）当时，①式显然不成立，因此不合题意．（2）当时，，所以，只需对任意恒成立，而当为偶数时，不成立，因此，

3、不合题意．（3）当时，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立．记（）．∵，∴（）的最大值为，∴．4点评：对于“恒成立”的问题，往往采用分离变量的方法，转化为求某一函数的最值．例2已知函数与函数的图像关于直线对称．（Ⅰ）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；（Ⅱ）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．讲解：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅

4、读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质：实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用．（Ⅰ）由题可知：与函数互为反函数，所以，，（Ⅱ）因为点在函数的图像上，所以，(*)在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为：①（Ⅲ）直线的方程为：，，在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，4=结合①式可得：②由①可知：当自然数时，，，两式作差得：．结合②式得：③在③中，令，结合，可解得：，又因为：当时，，所以，舍去，得．同上，在

5、③中，依次令，可解得：，．猜想：．下用数学归纳法证明．（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：把代入上式并解方程得：由于，所以，，所以，不符合题意，应舍去，故只有．所以，时命题也成立．综上可知：数列的通项公式为点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破．4