现代控制理论第2章.doc

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1、II、设计部分第二章线性多变量系统的运动分析在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。2.1线性系统状态方程的解给定线性定常系统非齐次状态方程为Σ：(2.1）其中，，且初始条件为。将方程（2.1）写为在上式两边左乘e-At，可得将上式由O积分到t，得故可求出其解为(2.2a)或(2.2b)式中为系统的状态转移矩阵。对于线性时变系统非齐次状态方程，(2.3）类似可求

2、出其解为(2.4)一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。2.2状态转移矩阵的性质定义2.1时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件(2.5)的解。下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：1、；2、；3、；4、当A给定后，唯一；5、计算时变系统状态转移矩阵的公式(2.6a)上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足即在矩阵乘法可交换的条件下，才可表示为如下矩阵指数函数形式(2.6b)显然，定常系统的状态转移矩阵不依

3、赖于初始时刻，其性质仅是上述时变系统的特例。------------------------------------------------------------------------------[例2．1]试求如下线性定常系统的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。[解]对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此=由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为------------------------------------------------------------------------------[

4、例2.2]求下列系统的时间响应：式中，u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。[解]对该系统状态转移矩阵已在例2.1中求得，即因此，系统对单位阶跃输入的响应为：或如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为------------------------------------------------------------------------------2.3向量矩阵分析中的若干结果本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。2.3.1凯莱-哈密尔

5、顿(Caley-Hamilton)定理在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。考虑n×n维矩阵A及其特征方程凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即(2.7)为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n-1次多项式，即式中，。由于可得从上式可看出，A和(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI-A）及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ，显然λI-A为零。这样即证明了凯莱-哈密尔顿定理。2.3.2最小多项式按照凯莱

6、-哈密尔顿定理，任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即使得φ(A）=0，或者最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式φ(λ)由下式给出：(2.8)注意，n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出：1、根据伴随矩阵adj(λ

7、I-A)，写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素；2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则d(λ)=1；3、最小多项式φ(λ)可由

8、λI-A

9、除以d(λ)得到。2.4矩阵指数函数eAt的计算前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数eAt。如果给定矩阵A中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算eAT的简便方法，其中T为常数。除了上述方法外，对eAt的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。2.3.1方法一：直接

10、计算法(矩阵指数函数)(2.9)可以证明，对所有常数矩阵A和有限的