现代控制理论第3章.doc

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1、II、分析部分第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控

2、和能观测性的若干判据。3.1线性连续系统的能控性3.1.1概述如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x(to)转移到任一状态，则称该系统在时刻to是能控的。如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1节涉及到能控性，3.2节将讨论能观测性。上面给出了系

3、统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。3.1.2定常系统状态能控性的代数判据考虑线性连续时间系统Σ：(3.1）其中，（单输入），且初始条件为。如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔to≤t≤t1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.1）描述的系统在t=to时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即to=0。由上一章的内容可知，式

4、(3.1)的解为利用状态能控性的定义，可得或(3.2)将写为A的有限项的形式，即(3.3)将式(3.3)代入式（3.2），可得(3.4)记则式(3.4)成为(3.5)如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式（3.5）。这就要求n×n维矩阵的秩为n。由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即时，由式（3.1）确定的系统才是状态能控的。上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为式中，，那么可以证明，状态能控性的条件为n×nr维矩阵的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的

5、。通常，我们称矩阵能控性矩阵。------------------------------------------------------------------------------[例3.1]考虑由下式确定的系统：由于即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。------------------------------------------------------------------------------[例3.2]考虑由下式确定的系统：对于该情况，即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。--------------------------

6、----------------------------------------------------3.1.3状态能控性条件的标准形判据关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。考虑如下的线性系统(3.6)式中，。如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得注意，如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P的每一列是与λi(i=1,2,…

7、，n)有联系的A的一个特征向量。设x=Pz(3.7)将式(3.7)代入式(3.6)，可得(3.8)定义则可将式（3.8）重写为如果n×r维矩阵G的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一来控制。由于状态能控的条件是A的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（3.8）的矩阵转换成对角线形式。如果式（3.6）中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ

8、4,λ4,λ6,…,λn,并且有n-3个互异的特征向量，那么A的Jordan标准形为其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jord