2007数学物理方法B卷答案及评分标准.doc

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1、南昌大学2006～2007学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6029(B)卷答案及评分标准课程编号：H课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级05物理、应物与光信息姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分42508100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共42分)得分评阅人1.复数的指数式为2.25。3.复数可简化为(-1+3i)/5。4.二维拉普拉斯方程在xy平面直角坐标系中的表达式为。5

2、.若复变函数可导，必满足柯西－黎曼条件，这个条件的数学表达式为、6.在的圆内，函数的泰勒级数展开为______________7.已知，为任一回路，则0。8.拉普拉斯变换。9.数学物理方程定解问题的适定性是指___解是存在的、唯一的和稳定的_____。10.一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端三分之一处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。11.偏微分方程的类型为椭圆型。12.若解析函数的实部为，则其虚部为B)，其中为常数。A)B)C)D)13.复变函数有D)。A)两个单极点和一个三阶极点B)一个单极点，一个可去极点和一个三阶极

3、点C)两个单极点和一个二阶极点D)一个单极点和一个三阶极点14.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）复变函数在区域内解析和可导等价。（√）（2）是二阶非齐次的线性偏微分方程。（×）（3）洛朗级数中的负幂项系数是某复变函数在点的留数。（×）一、求解题(每小题10分，共50分)得分评阅人说明：（1）需给出必要的文字说明和演算过程。（2）本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意：a.物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6题中任选一题完成；b.光信息专业考生则必须完成第7题。1.用留数定理计算积分。解：被积函数在积分围线内只有一个两阶极点

4、。---(3分)其留数为---(4分)根据留数定理得---(3分)2.解常微分方程初值问题。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方法。解：拉普拉斯变换得---(3分)所以---(4分)逆变换得---(3分)3.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：1)，解为，由得，由得，得，得到平庸解，显然没有意义。----------------(3分)2)，解为，代入边界条件得，于是仍然没有意义。----------------(2分)3)，解为,代入边界条件得a)当的取值使得时，必有，这和上两种情况一样没有

5、意义。b)当的取值使得时，不必为零，这种是有意义的情况。此时由得到本征值:此时，本征解为----------------(5分)4.试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。解：若方程的初始条件为，则其解为，此即达朗贝尔公式。---------------(4分)本题中，，，，则----------------(6分)注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。我是物理学或应用物理学专业的考生，选做题。5.用留数定理计算实积分。解：做变换,原积分化为-----(4分)由得

6、两个根。但在积分围线内，只有点是被积函数的单极点。-----(2分)在点的留数为-----(2分)根据留数定理得-----(2分)6.解偏微分方程（常数均为正数）。解：做未知函数变换将方程齐次化。令，代入方程和初始条件得；，------(4分)由达朗贝尔公式得------(4分)最后------(2分)7.已知阶勒让德多项式的表达式为计算。注意：。解：由已知可求得---(2分)以及---(3分)所以---(5分)一、证明题(每题8分，共8分)得分评阅人1.已知函数的傅里叶变换为，试证明的傅里叶变换为。证明：由于函数的傅里叶变换，-----(2分)则的傅里叶变换为-----

7、(2分)根据傅里叶积分定理，有且为有界量，于是，上式中的第一项为0。-----(2分)所以-----(2分)