直线一级倒立摆系统建模.ppt

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1、直线一级倒立摆系统建模自动化学院控制理论与控制工程自动控制领域中，建立数学模型的方法有两个，即机理法和实验法。实验法一般只用于建立输入输出模型，它是根据输入和输出的实测数据进行进行相应的处理和计算后得到系统的模型。其主要特点为：把研究对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上描述它的动态性能而不需要深入了解被控对象的内部机理。实验法在工程技术上有很大的用途，它让研究者省去了对于现实环境中复杂、恶劣被控对象的深入研究，从而让建模过程简单易行。但是，这也并不意味着对内部过程一无所知。就倒立摆系统而言，由于其本身是自然不稳定的系统，非线性严重，应用实验法建模存在一

2、定的困难。另一方面，经过理想化的假设、忽略一些次要影响时，倒立摆就是一个典型的运动系统，应用经典力学相关理论可以方便的建立起数学模型。这就意味着，机理建模法对于倒立摆系统更加合适。下面就其中的牛顿－欧拉方法展开具体论述。直线一级倒立摆的系统模型：模型假设倒立摆是一种有着很强非线性且对快速性要求很高的复杂系统，为了简化直线一级倒立摆系统的分析，在实际的建模过程中，我们做出以下假设：忽略空气阻力；将系统抽象成由小车和匀质刚性杆组成；皮带轮和传送带之间无滑动摩擦，且传送带无伸长现象；忽略摆杆和支点以及各接触环节之间的摩擦力。参数实际物理意义M小车质量m摆杆质

3、量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F小车所受到的外力x小车位移φ摆杆与竖直向上方向的夹角θ摆杆与竖直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）倒立摆系统各相关参数的定义见下表小车及摆杆的受力如图所示：以下是应用牛顿法建立直线一级倒立摆系统动力学方程的具体过程。（1）摆杆水平方向受力分析，可以得到：即：把上式代入（1）式，得到系统的第一个运动方程：（2）摆杆垂直方向上的合力分析，可以得到即：力矩平衡方程：小车水平方受力分析，可以得到：应该注意的一点是此方程中力矩的方向：由于θ=π+φ,cosφ=−cosθ,sinφ=−sinθ，所以等式

4、前面应加上负号。设θ=π+φ，其中φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角。合并以上两式，得到系统的第二个运动方程：下面进行非线性系统的线性化过程，即将系统在平衡点(φ=0)附近进行线性化处理。当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位：弧度）相比很小时，即φ<<1时，可以进行近似处理：最后，用u表示被控对象的输入力F。综上所述，线性化后两个运动方程如下（微分方程表达式）：对方程组进行初始条件为0的拉普拉斯变换，得到：由于输出为角度φ，对第一个方程进行求解，得：把上式代入方程组，得：整理后得到以外力u作为输入、摆杆角度作为输出的传递函数：其中，方程组对求解，得

5、：控制系统的状态空间方程：把上式改写成状态空间表达式的形式：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*mT采样频率0.005秒实际系统的模型参数如下表所示：把上述参数代入，可以得到系统的实际模型：（1）（2）（3）模型分析直线一级倒立摆系统由于其本身是自不稳定系统，实验建模存在一定的困难，由于在实际建模过程中，对于摆杆在平衡位置（竖直向上方向）进行了近似线性化处理，即将系统在平衡点(φ=0)附近进行近似：当摆杆与竖直向上方向之间的夹角φ与1（单

6、位：弧度）相比很小时，即φ<<1。所以，当小车在来回运动的过程中，只有保持摆杆微小震动前提下，系统的数学模型才具有意义。一旦超出这个范围，系统模型的准确性就会大打折扣。