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1、关于实数理论的几点思考数学与应用数学专业04级郑维坚一、实数理论的引入实数理论的引入是具有英历史必然性的。尽管牛顿、莱布尼兹早在十七世纪时便建立了微积分的演算体系，但这套微积分的概念与演算，是以直观的基础的，概念并不准确，推导公式有明显的逻辑矛盾。直至19壯纪,孑盾已积累到非解决不可的程度，于是在这种形势下，实数理论作为极限理论的坚实基础被引入了，并使微积分的演算体系严格化。（以上内容参考了《数学分析简明教程》）二、实数系各种性质的等价衣述概论经过这几个月来的学习，我对实数理论有了-•些自己的体会。我认为,对实数系中与实数有关的各种性质（如实数连续性、完备性、实数闭区间
2、的紧致性，连通性等）的描述，无外乎有两种方式：一种是用集合的观点來阐述，如戴徳金分划，非空有上界的实数子集有上确界、有限覆盖定理、区间套定理及聚点定理，另一种是用序列的观点來描述，如有理数基本列的等价类，单调上升有上界的序列有极限，紧致性立理以及柯西收敛原理。1、实数的连续性对于数系的连续性戴徳金是这样定义的：如果一个有大小顺序的稠密的数系S,它的任一个分划都有S中唯一的数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一•个数，那么称数系S是连续的。请证明两者的等价性以上的定义是通过集合（即下类与上类）來表述的，不过我觉得也能按照康托的思路用序列的方式加以定义，即対
3、于一个有大小顺序的稠密数系S,若所有（有理数）基本列的等价类与S中的所有数一--对应，则称S是连续的。言归止传，实数连续性是极限理论的基础，微积分止是在实数系这样•-个连续的数系中才有了大显身手的舞台。关于实数连续性的等价描述共有三种：这对实数系來说，当然是这样。但前三条都与实数系的“序”有关,而柯西列却与“序”无关,所以完备性不叫连续性（1）对于实数系的每一个分划AIB,存在唯一的实数r,使得对任意aWA,bWB,有Wb（2）非空有上界的实数子集必有上确界存在。（3）单调上升有上界的实数列必有极限存在。［我认为英实柯西收敛原理也反映了实数连续性，而口如果我先前补充的定
4、义可行的话，则康托对实数的定义"每一个（有理数）基本列的等价类都代表一个实数”也可视为实数连续性的一种描述，不过它是建立在另—种定义之上的］下血谈谈我対这三个等价描述的理解:（1）很直观的描述了实数连续性。（2）（3）的表述则较为“含蓄”一些，英实（2）与（3）描述实数连续性的思路是一样的，叩表明实数系在数轴上的任何地方都没有空隙，二者所不同的只是（2）从集合的角度來描述,而（3）从序列的角度來表述。课本中己证明了（1）o（2）,（1）o（3）及（2）=>（3）,现在证明(3)=>(2)0设M为实数子集E的上界，來证明r=supEeRo若有E最大值，则此最大值即为上确界
5、。若E无最大值，任収x0E,将［x（）,M］二等分，若右半区间含有E中的点，则记右半区间为⑹，b］,否则就记左半区间为［ai,b
6、］。然后将［ai,bj再二等分，用同样的方法选出血®］，如此无限分下去，我们便得到一个闭区间的集合｛［an,b„］｝,同时得到两串序列｛编｝,｛唧,其中｛aj单调上升有上界（如5）,｛bj单调下降有下界（如a】）,且bn-an=（b
7、-ai）/2nT0（nToo时）。山单调上升有上界知有r存在，使得「=広“an,又bn=an+（bi-ai）/2n对任意rW[an,bn]（对任意n）,又曲于血｝单调上升，r=anan.若存在kWN,s.t.E中
8、有一点x岸[r,bk],则按二等分法的规则,ak>r,这与&an（对任意n）相矛盾。所以E中任何一点xS匸又由«^an=r知对任意8,存在N,s.t.IaN-r丨v£二>aN>r-£.这也就是说存在x2^E,s.t.x2AaN>r-e.于是就证明了r是E的丄确界。2、实数闭区间的紧致性紧致性是点集拓扑中的概念，它是用來描述一类集合的，在时中，集合E是紧致的oE是闭且有界的oE的每个无限子集在E内有极限点。实数闭区间是R中既闭口有界的集合，因此实数闭区间具有紧致性，这是实数开区间所不具备的一个性质。（以上关于紧致性的介绍参考了Rudin的《数学分析原理》）对于实数闭区间的
9、紧致性，我们也可以从集合与序列的角度分别加以描述。（1）紧致性定理是从序列的角度來描述实数闭区间紧致性的，下面用紧致性定理证明单调上升有上界的实数列有极限。设｛Xn｝单调上升有上界，山紧致性定理，｛Xn｝存在收敛子序列｛Xnk｝,lim设&=XnkV｛Xn）单调上升，｛Xn"为其子序列・°・对任意n>ni,k,s.t.Xnkoo时k—>oo・•・曲夹逼性定理知丿耍Xn存在且等于a（2）区间套定理与有限覆盖定理是从集合的角度来描述实数闭区间紧致性的。我个人觉得这两个定理是作为一対矛盾而对立统一地存在的，理山如下
