研究生 泛函分析总结.doc

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1、1•距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：XXX-R,使得Vx,y,zeX,下列距离公理成立：(1)非负性：d(x,y)NO,d(x,y)=0ox=y;(2)对称性：d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式：d(x,y)Wd(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作(X,d)・P37例题2・1.22•距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】设AuX,若A=半，则称A为X中的开集；若A=则称A为X中的闭集。定理2.2.1(开集与

2、闭集的对偶性)开集的余集是闭集，闭集的余集是开集。证：设A为开集，则有4Au"；再由A=A°UdA=AjAt^乔=(Ac)°U5(Ac)=AcU5(AC)=AcJdA=Ac故"为闭集，若A为闭集，则由A°=AdA=AdAt^(ac)°=“a(Ac)=Acn(a(Ac))c=(aua(xc))c=(audAf=("=故"为开集。定理2.2.2任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集。证：设Ga(ael)为开集，令G=JJGa9则VxgG,护门，使得"G厂由G”ae/为开集，知mr>

3、0,使得ByEuGquG从而x为G的内点，故G为开集；又设G=f]Gk,其中$(k二1,2，…，n)为开集，则VxgG,有xw(k二1,2,…,k=)•由6开，知使得B3R,故取r=min{q}，则有

4、G,=G,从而有x为G的内点，故G亦为开集。Jt=l3•稠密性(掌握概念)设A,B是距离空间X的两个子集，则(1)A称为X中的稠集，若入二X(1)A称为B的稠子集，若AuBuA(2)A称为在B中稠密，若Bu几4.Cauchy列(基本列)(掌握概念)距离空间(X,d

5、)中的点列｛兀｝称为Cauchy列(或基本列力若V£>0,3NgN,使当in,n>N时，有d(x,“,£)Ve(注意：o〃(£““)tO(m.n->oo))定义2.5.2距离空间(X,d)成为完备的，若X中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。5.完备距离空间(X,d)称为完备的，若中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。6.列紧集与紧集设A是距离空间X的子集，若A中的任一点列都有收敛子列，则称A为列紧集;若A中的任一点列都有收敛于A的子列，则称A为紧集。7•压缩映射(重点例题)设(X,d)

6、为距离空间，T：XtX是X到自身的一个自映射，若存在常数8(0

7、F(x)-F(y)

8、=x2-y2w(忖+y

9、)

10、x-y

11、<-p(x,y)则F是X上的一个收缩映射课后例

12、尉设E*)是R得子空间，定义为⑴出，证昵T是压缩映射井求出T的不动点。讣故T是压缩映射证明：设在X=［1,+oo)上有

13、(Tx)二丄-丄12x"；令T«r=兀得兀=兰+丄,2x计算的x=±V2,故T在［1,+00)上有唯一的不动点x*=a/210.赋值空间设X是数域K上的线性空间，若VxeX,都有一个实数llxll与之对应，使得Vx,yeX,aeK,下列范数公理成立：（1）正定性:llxll^O,

14、

15、x

16、

17、=0»x=0（2）绝对齐次性:

18、

19、ax

20、

21、=

22、a

23、

24、

25、x

26、

27、（3）三角不等式：l

28、x+y

29、

30、

31、W

32、

33、x

34、

35、+

36、卜

37、

38、则称l

39、x

40、

41、为x的范数，X为K上的赋范空间，记作（X,

42、

43、•

44、

45、）例3.2.lVxeR,定义

46、

47、x

48、

49、=

50、x

51、v则（R,

52、

53、•

54、

55、）是赋范空间。证明:1°：有题知，显然有

56、

57、x

58、

59、=

60、x

61、>0,且

62、

63、x

64、

65、=

66、x

67、=0«x=0,满足正定性2°;

68、

69、ca

70、

71、=ax=

72、a

73、

74、x

75、=

76、

77、

78、

79、x

80、

81、,满足绝对齐次性3°:设x,ygR,

82、

83、x+y

84、

85、=

86、x+y

87、<

88、x

89、+y,满足三角不等式,所以（R,11-11）是赋范空间。例3.2.2Vx=（X

90、,…,占）e/?n,

91、定义凶〃=（工1忑丨）"，1WpVoo,k=IIx11了=maxIx,I,

92、无丨）10,且nP丄

93、

94、X

95、

96、“=（工1忑I）"=0o林=0伙=1,2,../）满足正定性。"1nP丄〃〃丄nP丄a2：又因

97、网厂（工1妙丨）〃=（外工比

98、）〃=k=k乱满足绝对齐次性。3：设兀=（兀J兀2=01*2,…，儿）丘Rl•所以x+y

99、

100、〃=（I?H+k=l儿点5［立

101、创+

102、儿

103、〃）］〃"工

104、创）〃+（□』