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1、应用泛函分析总结1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）.P37例题2.1.22.距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】设AX，若，则称A为X中的开集；若，则称A为X中的闭集。定理2.2.1（开集与闭集的对偶性
2、）开集的余集是闭集，闭集的余集是开集。证：设A为开集，则有；再由,有故为闭集，若A为闭集，则由,有故为开集。定理2.2.2任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集。证：设(αI)为开集，令，则xG，，使得。由为开集，知r＞0，使得从而x为G的内点，故G为开集；又设，其中（k=1,2,…，n）为开集，则xG,有x（k=1,2,…，n）.由开，知＞0，使得，故取,则有，从而有x为G的内点，故G亦为开集。3.稠密性（掌握概念）设A,B是距离空间X的两个子集，则（1）A称为X中的稠集，若=X（1）A称为B的稠
3、子集，若AB（2）A称为在B中稠密，若B.4.Cauchy列（基本列）（掌握概念）距离空间（X,d）中的点列｛｝称为Cauchy列（或基本列），若，NN,使当m,n＞N时，有d（）＜（注意：（））定义2.5.2距离空间（X,d）成为完备的，若X中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。5.完备距离空间（X,d）称为完备的，若中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。6.列紧集与紧集设A是距离空间X的子集，若A中的任一点列都有收敛子列，则称A为列紧集；若A中的任一点列都有收敛于A的子列，则称A为紧集。7.压缩
4、映射（重点例题）设（X,d）为距离空间，T：XX是X到自身的一个自映射，若存在常数θ（0＜θ＜1），使对x,yX，有d（Tx,Ty）≤θd(x,y),则称T为X上的压缩映射。8.不动点对X上的自映射T，若X，使得T=，则称为T的一个不动点9.给出映射须证出为压缩映射例3.6.1设X=(0,1/4]是R中的左开右闭区间，其上的距离按数的距离：F:XX,定义为,,那么，则F是X上的一个收缩映射课后例题1设X=[1,)是R得子空间，定义为，证明：T是压缩映射并求出T的不动点。证明：设在X=[1,)上有，故T是压缩
5、映射；令得，计算的，故T在[1,)上有唯一的不动点4.赋值空间设X是数域K上的线性空间，若xX，都有一个实数
6、
7、x
8、
9、与之对应，使得x,yX，αK，下列范数公理成立：（1）正定性：
10、
11、x
12、
13、≥0，
14、
15、x
16、
17、=0x=0（2）绝对齐次性：
18、
19、αx
20、
21、=
22、α
23、
24、
25、x
26、
27、（3）三角不等式：
28、
29、x+y
30、
31、≤
32、
33、x
34、
35、+
36、
37、y
38、
39、则称
40、
41、x
42、
43、为x的范数，X为K上的赋范空间，记作（X，
44、
45、·
46、
47、）例3.2.1xR,定义
48、
49、x
50、
51、=
52、x
53、,则（R，
54、
55、·
56、
57、）是赋范空间。证明：：有题知，显然有，且，满足正定性：，满足绝对
58、齐次性：设,,满足三角不等式，所以（R，
59、
60、·
61、
62、）是赋范空间。例3.2.2x=（），定义，1≤p＜，，则（）（1≤p≤）均为赋范空间。证明:1:有题意得：显然，且满足正定性。2：又因满足绝对齐次性。3：设,所以满足三角不等式，综上所述，（）（1≤p≤）均为赋范空间例3.2.3P7510.Banach空间的概念完备的赋范空间称为Banach空间。11.范数的等价性定义3.4.1设和是线性空间X上的两个范数，若｛｝X，，则称与是等价的。定理3.4.1（等价范数定理）线性空间X上的两个范数与等价的充分必要条件是
63、：,＞0，使得xX,有证必要性：设与等价，若不存在＞0，使得xX，均有，则nN,X,使得＞n，记，则当n时，，10.内积空间的定义10.Bessel不等式10.正交分解定理
