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1、泛函分析知识点小结及应用第七章度量空间§1度量空间的进一步例子一度量空间的定义设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足1．非负性：，=0;2.对称性：d(x,y)=d(y,x);3．三角不等式：对，都有+，则称(，)为度量空间，中的元素称为点。欧氏空间对中任意两点和，规定距离为=.空间表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.（空间记=.设，，定义=.二度量空间的进一步例子例1序列空间7令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令=.例2有界函数空间设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函
2、数的全体.，定义=.例3可测函数空间设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数.令=.§2度量空间中的极限设是中点列，若，s.t.()则称是收敛点列，是点列的极限.收敛点列的极限是唯一的.若设既牧敛于又收敛，则因为，而有=0.所以=.7注()式换一个表达方式：=.即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有距离是和的连续函数.证明++-+;++-+.所以
3、-
4、+具体空间中点列收敛的具体意义：1.欧氏空间=，，为中的点列，=，=.对每个，有.2.设
5、，，则=在一致收敛于.3.序列空间设=，，及=分别是中的点列及点，则依坐标收敛于.4.可测函数空间设，7，则因=，有.§3度量空间中的稠密集可分空间定义设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集.若有一个可数的稠密子集，则称是可分空间.例1维欧氏空间是可分空间.事实上，坐标为有理数的点的全体是的可数稠密子集.例2离散距离空间可分是可数集.例3是不可分空间.§4连续映照定义设=，=是两个度量空间，是到中的映射：==.，若0，0，s.t.且，都有，则称在连续：定理1设是度量空间到度量空间中
6、的映射：，则在连续当时，必有.定理2度量空间到中的映照是上的连续映射任意开集，是中的开集.定理度量空间到中的映照是上的连续映照任意闭集，是中的闭集.7§5柯西点列和完备度量空间定义1设=(，)是度量空间，是中的点列.若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列.若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间.在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1,1.4,1,41,在中收敛于，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1完备度量空间的子空间是完备度量空间是中的闭子空间.常见例子：(
7、1)（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间(2)是完备的度量空间(3)(实系数多项式全体)是不完备的度量空间§6度量空间的完备化定义1设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映射(,，有(,)=(,))，则称(,)和(,)等距同构，此时称为到上的等距同构映照。等距同构映照是1-1映射.因设,，且，则因(,)0及(,)=(,)0，知.定理1(度量空间的完备化定理)设=(,)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使与的其个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,7)也是一完备度量空间，且与的其个稠密子
8、空间等距同构，则(,)与(,)等距同构.§7压缩映照原理及其应用定义设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：01，s.t.、，成立则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).定理1.(压缩映射定理)设是完备度量空间，是上的压缩映照，则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个解).补充定义：若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点X是方程TX=X的解。定理2.设函数在带状域，中处处连续，且处处有关于的偏导数，若存在常数和，满足，0，则方程=0在区间上必有唯一的连续函数作为解：0，.§8赋范线性空间和Banach空间线性空间+范数Þ线
9、性赋范空间线性赋范空间+完备性Þ巴拿赫空间定义1设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C），如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且"x,y,zÎX,l,ÎmK,满足：1)x+y=y+x（加法交换律）2)(x+y)+z+x+(x+y)（加法结合律）3)Îq$X,使x+q=x（零元素存在性）4)$x’ÎX,使x+x’=q（逆元存在性）5)l(mx)=mlx=m(lx)（数乘结合律）6)1x=x,0x=q77)(l+m)x=lx+mx（元素对数的加法分配律）8)l(x+y)=lx+ly（数对元素的加法分配律）则称x+y为x与y的和，
10、lx为数l与x的数乘,称X为线性空间或向量空间(实或复)，X中的元素称为向量。定义(范数，赋范线性空间)设为是实（或复）数域的线性空间，若对，存在一个实数于之对应，且满足下列条件：(1);且；（非负性）(2)，；（正齐（
