泛函分析总结范文.doc

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1、泛函分析总结范文　　泛函分析知识点小结及应用第七章度量空间§1度量空间的进一步例子一度量空间的定义设X是任一非空集合，若对于??yx,X，都有唯一确定的实数??yxd,与之对应，且满足1．非负性??yxd,0?，??yxd,=0yx??;2.对称性d(x,y)=d(y,x);3．三角不等式对??zyx,,?，都有??yxd,??d?zx,+?d?zy,，则称(?，d)为度量空间，?中的元素称为点。　　欧氏空间nR对nR中任意两点??nxxxx,,,21??和??nyyyy,,,21??，规定距离为??yxd,=??2112?????????iniiyx.??b

2、aC,空间??baC,表示闭区间??ba,上实值(或复值)连续函数的全体.对??baC,中任意两点yx,，定义??yxd,=??t??tyxbtamax???.pl（)1????p空间记pl=?????????????k??k?11pkkxxx.设?????1kkxx，?????1kkyy?pl，定义??yxd,=pipiiyx11????????????.二度量空间的进一步例子例1序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体，对??????1kkxx，?????1kkyy，令??yxd,=?k??121kkkkkyxyx???1.例2有界函数空间??AB设A是

3、一个给定的集合，令??AB表示A上有界实值(或复值)函数的全体.??yx,??AB，定义??yxd,=??t??tyxAt??sup.例3可测函数空间??XM设??XM为X上实值(或复值)的可测函数的全体，m为Lebesgue测度，若??Xm??，对任意两个可测函数??tf及??tg，由于??f??g??t??t11????tgtf，故不等式左边为X上可积函数.令??gfd,=????fy??gt??t1ftgtdX????.§2度量空间中的极限设????1nnx是??dX,中点列，若Xx??，s.t.??0,lim?n??xxdn(?)则称????1nnx是

4、收敛点列，x是点列????1nnx的极限.收敛点列的极限是唯一的.若设nx既牧敛于x又收敛y，则因为??????0,,,0????nnxydxxdyxd????n，而有??yxd,=0.所以x=y.注(?)式换一个表达方式??xxdnnlim?,?=??xxdnnlim?,?.即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有距离??yxd,是x和y的连续函数.证明??yxd,??d?0,xx+?d?00,yx+??yyd,0???yxd,-?d?00,yx??d?0,xx+??yyd,0;??00,yxd???xxd,0+?d?yx,+??0,yyd

5、???00,yxd-?d?yx,??d?0,xx+??yyd,0.所以

6、??yxd,-?d?00,yx

7、???0,xxd+??yyd,0具体空间中点列收敛的具体意义1.欧氏空间nRmx=??m1??m2??mn??xxx,,,?，?,2,1?m，为nR中的点列，x=??nxxx,,,21??nR，??xxdm,=??1x????2????mn??22221nmmxxxxx???????.xxm?????m?对每个ni??1，有??imixx?????m.2.??baC,设????n?1nx??baC,，?x??baC,，则??xxdn,=??t??t0max?

8、ta???xxnb????n?????1nnx在??ba,一致收敛于x.3.序列空间S设mx=??1??2??mn????,,?,,?mm?，?,2,1?m，及x=????,,,,?21n??分别是S中的点列及点，则????mk??mk??k??????10121,kkkmxxd????????m?mx依坐标收敛于x.4.可测函数空间??XM设????1nnf???XM，f???XM，则因??ffdn,=??f??f??t??t????Xnndmtftf1，有ffn??ffn?.§3度量空间中的稠密集可分空间定义设X是度量空间，N和M是X的两个子集，令M表示M

9、的闭包，若N?M，则称集M在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集.若X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间.例1n维欧氏空间nR是可分空间.事实上，坐标为有理数的点的全体是nR的可数稠密子集.例2离散距离空间X可分?X是可数集.例3?l是不可分空间.§4连续映照定义设X=??dX,，Y=?Y~,?dY~,是两个度量空间，T是X到Y中的映射X=??dX,T?Y=??d.0x?X，若???0，???0，s.t.?x?X且??0,xxd??，都有??0,~dTxTx??，则称T在0x连续定理1设T是度量空间??dX,到度量空间??dY~,中的映射?定理2

10、度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映