2012高中数学 3_1_3课时同步练习 新人教A版选修2-1.doc

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1、第3章3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得

2、a

3、＝

4、b

5、，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.答案：　B2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量与的夹角是(　　)A．30°　　　　　　　　　　B．45°C．60°D．90°解析：　BC′∥AD′

6、，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°.答案：　C3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，则△BCD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：　如右图所示，设A＝a，A＝b，A＝c，∵C·C＝(a－b)·(c－b)＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b2>0.同理B·B>0，D·D>0.故选B.答案：　B4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　)A.B.C.D.解

7、析：　∵＝A＋A＋，∴

8、

9、＝＝∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴

10、A

11、＝＝.故选D.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________.解析：　设A＝b，A＝c，A＝d，则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0.答案：　06．已知

12、a

13、＝3，

14、b

15、＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝

16、a

17、2＋λa·b＋a

18、·b＋λ

19、b

20、2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－.答案：　－三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积：(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.解析：　(1)

21、A

22、＝a，

23、

24、＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝

25、

26、

27、D

28、cos120°＝－a2.(2)因为B＝A－A，所以A·B＝A·(A－A

29、)＝A·A－A·A，又因为

30、A

31、＝a，

32、

33、＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因为＝a2，所以G·A＝－a2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B，所以E·B＝B·B，结合图形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos60°＝a2.8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且

34、MB

35、＝2

36、AM

37、，

38、CN

39、＝

40、ND

41、，求

42、MN

43、.解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(

44、－A＋A＋)·(－A＋A＋A)＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故

45、M

46、＝＝a.即

47、MN

48、＝a.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明A1B⊥AC1；(3)用向量法求AC1的长度．解析：　(1)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，所以

49、

50、＝

51、

52、＝a.因为＝A－，＝＝A－，所以·＝(A－)·(A－)＝a2，所以cos〈，〉＝＝，即A1B和B1C的夹角为60°；(2)证明：因为＝A＋＋A，＝A－，所以·＝0，A1B⊥

53、AC1；(3)由(2)知，＝A＋＋A，所以2＝(A＋＋A)2＝3a2，所以

54、

55、＝AC1＝a.