一道不等式填空题的讲评实.doc

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1、一道不等式填空题的讲评实录湖北巴东一中（444300）张世林谭柱魁在不等式的第一轮复习中，我给学生布置了一道填空题：设,,则的取值范围是。这是1999年的一道高考题，难度并不很大，但它却是复习巩固所学基础知识、训练学生思维的极好的题材．首先让学生认真思考，独立解答；然后小组讨论，全班交流，教师点评．现将交流点评过程实录如下：（T代表教师；S代表学生）T：同学们求得的答案是什么？全班绝大多数同学：．T：很好！答案正确，现在请大家交流一下各自的解法。（同学们跃跃欲试）S1：通过观察，要求的范围，可考虑建立关于的不等式，联想到均值不等式，

2、从而已知的等式变成，令，则,解得,故．T：S1的解答非常正确，抓住了与的内在大小关系，实现了“等式”到“不等式”的跨跃，渗透着解决数学问题的化归思想。若此题变为要求的范围，请问又该如何解决？S2：类比于S1的解法，只须对采用来放缩，从而可得到关于的不等式，解此不等式易得其范围．T：S2采用类比思维解决求的范围问题，非常正确。请问还有其他的解法吗？S3：要求的范围，式中有两个变量，可考虑将用含一个变量的函数式来表达．再求其范围，由已知得：，因为，得，故，再利用求函数值域的分离常数法得：，当且仅当，即，时取“=”号，故的范围是。T：S3

3、的解答将变元由两个减少为一个，渗透着减元思想和函数思想，分离常数后运用均值不等式是处理此类问题的常用技巧，但要注意运用均值不等式求最值的前提条件：一正、二定、三相等．（此时S4将手高高举起，要求发言．）S4：令，，要求的范围，可研究其单调性，借助导数可解．，令，得．当时，；当时，．故时，，从而的范围为．S5：求的范围，采用判别式法我也求出了正确答案．T：是的，对同一道题采用多种方法求解，可帮助我们网络知识，夯实基础，丰富解题思路与方法，增强解题能力。S4和S5的解答都很正确．（S6激动得站了起来，也要求发言．）S6：注意到已知等式中

4、含有和，我联想到了韦达定理，设=，，则=，于是可把、看作是一元二次方程的两根，由判别式可得：，得，故。（同学们大都沉浸在对此种解法的欣赏之中！稍等片刻，S7举手发言．）S7：S6的解法有不严密的地方。因为题中的、，所构造的二次方程应有两个正实根。其充要条件是，得，故．（同学们赞许地点点头．）T：把S6与S7的解答合起来，巧构方程，思维独特，答题严密简捷，其间渗透着方程思想与构造思想．若将题目变成：“已知，，则的取值范围是。”可否继续构造方程来解？（同学们饶有兴趣，飞快地动起笔来，不一会儿，大家纷纷举手发言．）S8：同样可以构造方程来

5、解。已知等式可变成，设，则，于是可把、看成是二次方程的两根，仿照前法可解得的范围是：．T：利用构造法解题是建立在对基础知识的高度熟练、对基本技能、基本方法的灵活运用的基础之上，对思维的深刻性、灵活性、创造性要求较高．在这里同学们利用放缩法、函数法、方程法给出了此题的解答及变式处理，在今后的学习中，对一些典型问题，我们应该多角度、多方位、多层次地思考，做到一题多解，一题多变，一题多思，多方出击，不畏困难，大胆探索出解决问题的多种方法．这样不仅可使我们大家的知识得到巩固、深化，方法得到沟通与拓广，而且可培养我们思维的探究力和创造力．