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1、第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教
2、学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程或的一些可解类型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变
3、量分离的一阶方程。教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。形如(2.1)的方程,称为变量分离方程.这里分别是x,y的连续函数.一.变量分离方程的求解.当时,将(2.1)改写成,对上式两边积分得:(2.2)由(2.2)所确定的函数就为(2.1)的通解.例1.求微分方程的所有解.解:方程两边同除以,再积分得,两边积分得,从上式中解出从上式
4、中解出,再将常数设为c,得由求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为例2.求微分方程的通解.解:分离变量后得两边积分得整理后得通解为:由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c而得到,所以不是解.例3、求方程的通解。其中P(X)是x的函数。解：将变量分离，得到两边积分，即得㏑
5、y
6、=∫P(x)dx＋c1由对数的定义，即有
7、y
8、=e∫P(x)dx＋c1即y=±ee∫P(x)dx=ce∫P(x)dx此外，y=0也是方程的解。若在上式中允许c=0即知y=0
9、也包括在上式中，故方程的通解为y=ce∫P(x)dxc为任常数。二、可化为变量分离方程的类型1、形为（2.5）的方程，称为齐次方程，这里g(u)是u的连续函数。解法：①作变量代换（引入新变量）u=，即y=ux则代入u＋x=g(u)方程化为（这是由于）②解以上变量分离方程③变量还原例4、求解方程（x<0）解：方程改写为(x<0)这是齐次方程。令u=代入得即分离变量得两边积分得㏑（－x）＋c即u=(㏑（－x）＋c)2㏑（－x）＋c>0c为任常数。此外还有解u=0,不含在通解中代回原来的变量，得原方程的通解为例5、求下面初值问题的解（y
10、+）dx=xdy，y(1)=0解：方程变为这是一个齐次方程。令y=ux代入方程得分离变量得积分上式㏑
11、u+
12、=㏑
13、x
14、+㏑
15、c
16、得整理后得u+=cx变量还原得=cx最后由初始条件y(1)=0可求出c=1。故初始值问题的解为y=1、形为这里a，b，c(i=1、2)为常数的方程可经变量变换化为变量分离方程。分三种情况讨论：⑴c=c2=0的情形为齐次方程。由1可化为变量分离方程。⑵的情形。设，则方程可改写成令u=a2x+b2y，则方程化为这就是变量分离方程。⑶且c1与c2不同时为零。a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0代表x
17、y平面上两条相交的直线。解以上方程组得交点()≠(0,0)(注：若()=(0，0)则得c1=c2=0为(1))作变量代换X=x－Y=y－则方程化为为为（1）的情形，可化为变量分离方程求解。解的步骤：⑴解方程组a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0得解x=y=⑵作变换X=x－Y=y－方程化为⑶再经变换u=将以上方程化为变量分离方程⑷求解⑸变量还原例6、求方程的通解解：解方程组x＋y－1=0X－y＋3=0得x=－1,y=2令x=X－1,y=Y+2代入方程得令u=,得分离变量后积分arctanu－㏑(1+u2)=㏑
18、x
19、+c再
20、将这些变量通个还原，整理后得原方程通解为arctan=㏑+c注：上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型此外，若为yf(xy)dx+xg(xy)dy=0x2=f(xy)以及M(x,y)(xdx＋ydy)＋N(x,y)(xdy－ydx)=0（其中M,
