泛函一二章复习提纲.doc

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1、一、赋范线性空间(一)教学内容1.线性空间的基本概念。2.度量空间及拓扑：（1）拓扑空间的定义。（2）度量空间：定义与例子、开集与闭集、拓扑空间的度量化。（3）线性度量空间的定义。　3.赋范空间：（1）基本概念：赋范空间的定义（2）赋范空间与度量空间的关系。（3）经典赋范空间的例：空间、空间、不等式与不等式、空间。　　4.完备度量空间：列，完备性、完备空间的例子、闭球套定理、纲，Baire纲定理、度量空间完备化。5.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的应用。6．紧性和度量空间的紧性：紧性的概念（紧，相对近，完全有界集

2、的定义，关系及序列刻画）、-网、紧空间的连续映射、定理。7．有限维空间：（1）有限维空间的同构性。（2）有限维空间的特征。8.可分性与可分空间。　　重点　掌握度量空间的基本概念、度量空间中的点集、完备度量空间、压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和度量空间的紧性。　　难点　完备度量空间、压缩映射原理、不等式与不等式、赋范空间的完备化、空间、空间、Baire纲定理。(二)教学基本要求　　1.理解度量空间、度量空间中的点集等基本概念。　　2.了解完备度量空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。　　3.理解赋范空间的定义、赋范空间的基

3、本性质、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。　　4.熟练掌握不等式与不等式。二、有界线性算子1.有界线性算子（1）定义，局部与整体连续的一致性，判定方法（是否有界定义方式和空间结构均有关），B（X,Y）,X*（2）常用有界线性算子：积分算子，微分算子2.算子范数与性质：定义及计算（技巧）3.共鸣定理（1）算子族点点有界与一致有界的定义（2）共鸣定理（3）应用：定理4.开映射定理与闭图像定理：逆算子、开映射定理及其在研究方程解的性质中的应用；闭算子的定义及判别；闭图像定理。5．延拓定理（1）实线性泛函的控制延拓定

4、理及证明（2）复线性泛函的控制延拓定理及证明，与实线性泛函的一一对应性（3）保范延拓定理及推论（4）延拓定理在最佳逼近理论方面的应用6.凸集的隔离定理（1）超平面的分析表达式（2）Minkowski泛函的定义及属性（3）一般凸集隔离定理及证明（4）紧凸集的严格隔离定理　　重点　有界线性算子空间、共轭空间、算子范数的计算、逆算子、开映射定理、闭图像定理、保范延拓定理及推论、共轭空间与空间自身的对偶性。难点定理的证明。