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1、一道数表(阵)题所引发的思考江苏省梁丰高级中学 刘显伟12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………引例 下题选自2008年高考江苏卷:将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵中第n行的从左向右的第3个数是.本题是一类将某些数按一定的条件和规律排成一个数阵的题,这类问题以其题型新颖,信息性强,且往往与数列整合在一起,可以较好地考查学生的阅读理解、获取信息、处理数据、归纳推理等能力等特点频频出现在高考和各地调研试题中.以下本文就谈谈如何求解这类数表(阵)问题.1.
2、根据数表(阵),应用归纳、猜想、证明方法求解.认真细致地观察数表(阵)的排列规律,观察其项数变化呈现的结构特征,并抓住这一特征归纳出一般关系下的表现形式,有时对一般式还得给出严格的证明. 观察引例数的排列规律可知:第1行有1个数;第2行有2个数;第3行有3个数;…,可归纳得第n行应有n个数,于是该数阵的前行共有个数.若将第1行的数排在首位,第2行的两数排在其后,第3行的3数排在再其后,…,即排成的形式,可以得到一个以1为首项,1为公差的等差数列,于是第行的最后一个数,即第个数为.从而可知第n行从左向右
3、的第3个数为,即.请再看一例:35 691012—————————……例1 设是集合中的所有的数从小到大排列成的数列,即,,,,,,…,将数列各项按上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数列:(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(2)求.解析 由题知数阵中的每个数均能写成()的形式.尝试将每行的每个数写成这种形式后去寻找规律.(1)第一行的数:;第二行的数:,;第三行的数:,,,……,由此可猜想第行的数为:,,,;由此规律,第四行,即时的各数为:;第五行,即时的各数为:.(2)由题知前行数的
4、总个数为:.下面来探究,即第100个数到底在哪行.由估算可知,当时,;当时,,所以应是第14行的第9个数,所以. 解后反思 有关数表(阵)题的完成均是建立在观察、归纳基础之上的.此时,为寻找规律可在同行、同列,甚至相邻两行、两列数之间进行观察、归纳、猜想.2.根据数表(阵),综合运用等差、等比数列知识求解.数表(阵)中的行与列上的数字,若题目条件明确给出,或通过分析、归纳可得,行(或列)5中的数成等差(或等比)数列,可尝试利用等差、等比数列的有关知识求解.例2 将n2个数排成n行n列的一个数阵:已知.
5、该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,其中m为正实数,试求第i行第j列的数.解析 解本题首先要理解的含义,它表示第i行第j列所对应的数.由题知该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,于是有;又每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,因此,对第一行而言,应有;又,于是有,又,所以有2m2＝2＋5m＋1.解得m＝3或(舍去).于是.解后反思 解这类数表(阵)题时,理解的含义至关重要.此时,要注意若考查数表(阵)的行的规律
6、时,表示行的相对固定;若考查数表(阵)的列的规律时,表示列的相对固定.如本题的“每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列”,则它的第行,根据等比数列的通项公式有.3.根据数表(阵),寻求递推关系求解.观察数表(阵),重点研究第项与第项的内在联系,通过寻求递推关系来求解,这也是解决这类问题的一类常用方法.再次思考引例,还有别的方法求解吗?要求数阵中第n行的从左向右的第3个数,若知道第n行的第一个数,只需再加2即可求得结果.下面考查数阵每行的第1个数之间的内在联系.由数阵可知,第一行的第1个数为1,
7、第二行的第1个数为2,第三行的第1个数为4,第四行的第1个数为7,第五行的第1个数为11,……,由此,尝试去寻找递推关系得出第行的第1个数.于是问题转换为:已知,……,试归纳的值.注意到,……,由此可归纳得,将以上各式左、右两边相加,可得,即.经检验,当时也符合题意,于是,即第n行的第一个数为,所以从左向右的第3个数为,即.请再看一例:例3 一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上个数,5在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和,得到下一行,依此类推.记数表中第行的第个数为.(1)若数表中第
8、行的数依次成等差数列,求证:第行的数也依次成等差数列;(2)已知,求关于的表达式.分析 (1)要证第行的数也依次成等差数列,只需证明这行中的数从第二项开始,每一项与前一项的差均为同一常数即可.若设数表中第行数依次所组成数列的通项为,则只需证 是常数.(2)尝试寻找与之间的递推关系求解.解(1)若设数表中第行数依次所组成数列的通项为,由题意可得,又数表中第行的数依次成等差数列,设其公差为d,则,于是是与j无关的常数,所以第i+1行的数也依次组成等差数
