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时间：2020-06-20
《Matla求解线性方程组、非线性方程组.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Matlab求解线性方程组、非线性方程组姓名：罗宝晶学号：1012208015专业：材料学院高分子系第一部分数值计算Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用除法运算符“/”和“”。如：X=AB表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。对方程组X＝AB，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n恰定方程，求解精确解；m>n超定方程，寻求最小二乘解；m2、LAB将采用不同的算法来求解。一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数中，最常用的方程组解法有：（1）利用Cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；（3）利用Gaussian消去法；（4）利用Lu法求解。一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在Lu分解的基础上进行。在MATLAB中，求解这类方程组的命3、令十分简单，直接采用表达式：x=Ab。在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行Lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。此外还要注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用Ab的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最4、小二乘解。二．超定方程组对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；例子：求解超定方程组A=[2-13;31-5;4-11;13-13]A5、=2-1331-54-1113-13b＝[303-6]’;rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。一．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。例子：解欠定方程组A＝[1-211;1-21-1;1-215]A=1-21116、-21-11-21-11-215b=[1-15]’x1=AbWarning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x的条件下；（7、2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；（3）[X,W]=nnls(A,b)当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。例子：求方程组的非负最小二乘解A=[3.4336-0.52380.6710-0.52383.2833-0.73020.6710-0.73024.
2、LAB将采用不同的算法来求解。一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数中，最常用的方程组解法有：（1）利用Cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；（3）利用Gaussian消去法；（4）利用Lu法求解。一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在Lu分解的基础上进行。在MATLAB中，求解这类方程组的命
3、令十分简单，直接采用表达式：x=Ab。在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行Lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。此外还要注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用Ab的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最
4、小二乘解。二．超定方程组对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；例子：求解超定方程组A=[2-13;31-5;4-11;13-13]A
5、=2-1331-54-1113-13b＝[303-6]’;rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。一．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。例子：解欠定方程组A＝[1-211;1-21-1;1-215]A=1-2111
6、-21-11-21-11-215b=[1-15]’x1=AbWarning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x的条件下；（
7、2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；（3）[X,W]=nnls(A,b)当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。例子：求方程组的非负最小二乘解A=[3.4336-0.52380.6710-0.52383.2833-0.73020.6710-0.73024.
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