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1、非线性方程(组)求解非线性方程（组）数值求解基本原理多项式求根函数－roots非线性方程求解函数－fzero非线性方程组求解函数－fsolve复习与练习按以下要求编写一个函数计算的值，其中x>0时，y=;x<0时，y=2/x;x=0时，返回错误信息（xcann’tbezero)。要求：1)主函数名称为excer1，x作为输如变量，A作为输出变量；2)主函数中包括一个子函数myfun用于计算y的值。引言在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气的P-V-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a＝4.17atm
2、•L/mol2，b＝0.0371L/mol数学模型：范德华方程变形可得关于V的非线性方程非线性方程（组）在化学计算中的作用多组分混合溶液的沸点、饱和蒸气压计算流体在管道中阻力计算多组分多平衡级分离操作模拟计算平衡常数法求解化学平衡问题定态操作的全混流反应器的操作分析非线性方程非线性方程包括：高次代数方程、超越方程及其它们的组合与线性方程相比，非线性方程求解问题无论从理论上还是从计算公式上都要复杂得多对于高次代数方程，当次数>4时，则没有通解公式可用，对于超越方程既不知有几个根，也没有同样的求解方式。实际上，对于n≥3代数方程以及超越方程都采用数值方法求近似根。非线性方程数
3、值求解原理逐步扫描法逐步扫描法效率较低，常用于求根的初始近似值逐步扫描法计算示例-方程x2-2=0的正数解计算方程的正数解二分法若函数f(x)在区间[a,b]内单调连续，且f(a)f(b)<0，则在闭区间[a,b]内必然存在方程f(x)=0的根x*k=0;whileabs(b-a)>epsx=(a+b)/2;ifsign(f(x))==sign(f(b))b=x;elsea=x;endk=k+1;end二分法的图形解释二分法的MATLAB程序二分法是一种可靠的算法，但计算速度较慢二分法计算示例-方程x2-2=0的正数解计算方程的正数解求方程根的精确解非线性方程(组)的求解
4、一般采用迭代法进行。迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。常见的迭代算法有不动点迭代牛顿法弦截法抛物线法威格斯坦法（Wegstein）不动点迭代法我们可以通过多种方法将方程式转化为例如方程可以转化为以下不同形式(1)(2)(3)不动点迭代法从给定的初值x0，按上式可以得到一个数列：{x0,x1,x2,…,xk,…}如果这个数列有极限，则迭代格式是收敛的。这时数列{xk}的极限就是方程的根上述求非线性代数方程式数值解的方法称为直接迭代法（或称为不动点迭代法）。这个方法虽然简单，但根本问题在于当k
5、->∞时，xk是否收敛于x*，也就是必须找出收敛的充分条件例题：正确的收敛的迭代格式例题：发散的迭代格式例题：错误的收敛迭代格式不动点定义：函数g(x)的一个不动点（fixedpoint）是指一个实数P，满足P=g(P)从图形角度分析，函数y=g(x)的不动点是y=g(x)和y=x的交点不动点定理设有(i)g,g’∈C[a,b],(ii)K是一个正常数，(iii)p0∈(a,b)，(iv)对所有x∈[a,b]，有g(x)∈[a,b]如果对于所有x∈[a,b],有
6、g’(x)
7、≤K<1，则迭代pn=g(pn-1)将收敛到惟一的不动点P∈[a,b],。在这种情况下，P称为吸引
8、（attractive）不动点。对于所有x∈[a,b],有
9、g’(x)
10、>1，则迭代pn=g(pn-1)将不会收敛到P点。在这种情况下，P称为排斥（repelling）不动点，而且迭代显示出局部发散性不动点迭代的图形解释单调收敛振荡收敛不动点迭代的图形解释单调发散振荡发散牛顿法牛顿法也称为牛顿-拉普森法或者切线法。由于这个方法的计算结果颇佳，而计算过程也比较简单，所以被普遍采用。牛顿法的核心内容是通过泰勒级数将非线性方程式转化为线性方程式，然后用迭代法求解。牛顿法原理设方程式的近似根为则对的泰勒级数展开式为牛顿法的几何意义YOX切线方程例:牛顿法计算x^2-25=0的解f
11、(x)=x2-25，则f’(x)=2x可构造迭代公式如下：取x0=2代入上式，得x1=7.25，继续递推，依次得5.35、5.0114、5.000001、5.0000000001…牛顿法注意事项在有根区间[a,b]上，连续且不变号，则只要选取的初始近似根x0满足，切线法必定收敛。在单根附近，牛顿公式恒收敛，而且收敛速度很快。但是需要注意如果初始值不在根的附近，牛顿公式不一定收敛在实际使用中，牛顿法最好与逐步扫描法结合起来，先通过逐步扫描法求出根的近似值，然后用牛顿公式求其精确值，以发挥牛顿法收敛速度快的优点牛顿迭代法收敛速度快
