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1、空间向量与立体几何基础知识本单元是全章的重点，主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用，共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.本单元的重点是：空间向量的运算和运算律；空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间向量基本定理及其推论；两个向量的数量积的计算方法及其应用；空间右手直角坐标系；向量的坐标运算和向量的夹角公式、距离公式.本单元的难点有：理解与运用空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间作图；两个向量数量积的几何意义以及把立体几何
2、问题转化为向量计算问题；向量坐标的确定和向量夹角公式、距离公式的应用等.本单元把空间的平行(平移）性质转为向量表达式（共线、共面向量定理、向量数量积运算）和向量运算，使学习重点转到使用向量代数方法解决立体问题上来，这旨在培养使用向量代数方法解决立体几何问题的能力.在第一单元空间平行（平移）概念的基础上，引入向量来解决立体几何问题，是综合推理训练转向代数推理训练，即用代数方法来研究解决立几问题，因此，要重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重掌握向量这一工具的性质和用途.本单元所学的空间向量的知识容量大,涉及的概念多,
3、公式多，因此，要抓住空间向量与平面向量之间存在的类似关系，能通过类比、比较，将所学的平面向量知识推广到空间，并通过应用逐步理解与掌握.本单元的主要知识有：1．共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数l使a=lb.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充分条件是存在实数t，满足等式=+ta.其中向量a叫做直线l的方向向量，等式=+ta称为空间直线的向量参数表示式，若在l上取=a，则等式可化为=（1–t)+t.2．共面向量称平行于
4、同一平面的向量为共面向量.空间向量与立体几何•第12页共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使=x+y或对空间任一点O，有=+x+y.3．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b,C不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.该定理表明：在空间，任意一个向量都可以由三个不共面的向量表示（生成），{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c
5、都叫基向量.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使=x+y+z.4.两个向量的数量积空间两个向量非零向量a，b的夹角定义与平面向量类似，但记作，通常规定0££p.空间两个非零向量a，b的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.a•b=
6、a
7、
8、b
9、cos.当=时，称向量a与b互相垂直，记作a^b.空间两个向量的数量积有类似于平面向量数量积的性质与运算律.5．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，引入空间向量的坐标
10、运算.取空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫单位正交基底，常常用{i，j，k}表示；在空间取右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向的右手直角坐标系，设原点为O；空间向量与立体几何•第12页在右手直角坐标系中，取一个单位正交基底{i，j，k}，使基向量i，j，k的方向分别为x,y,z轴的正方向，由空间向量的基本定理可得：给定空间任意向量a,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3）使a=a1i+a2j+a3k，有序数组(a1,a2,a3）叫做向量a在空间直角坐标系中的坐
11、标，可简记为a=(a1,a2,a3）.对空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x,y,z使=xi+yj+zk.在单位正交其底i，j，k中与向量对应的有序实数组（x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A（x,y,z),其中x,y,z分别叫做点A的横坐标，纵坐标与坚坐标.设a=(a1,a2,a3），b=(b1,b2,b3）,则有a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);la=(la1,la2,la3）(lÎR);a•b=a1b1+a2b2+a3b3;a∥bÛa1=lb1,a2=lb2,a
12、3=lb3(lÎR),或==；a^bÛa1b1+a2b2+a3b3=0
13、a
14、=;cos==.在空间直角坐标系中，若设A(a1,a2,a3），B(b1,b2,b3），则AB两点之间的距离dA,B=.7.平面的法向量垂直于平面的向量称为平面的法向量，即若向量a⊥平面a,则a称为a的法向量.空间向量与立体几何•第12页例题解析
