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1、第十二讲对勾函数的图像与性质探究厦门二中唐文龙一、实验内容探究对勾函数（，下同）的图像与性质，由三部分组成：1）当a,b同号时，探究的图像与性质2）当a,b异号时，探究的图像与性质3）探究对勾函数，与y=ax和y=的图像的关系二、设计理念通过用超级画板绘制的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力三、实验过程1..探究问题当a,b同号时研究对勾函数的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等）探究过程1）当a>0,b>0时，请利用超
2、级画板做出函数的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等2）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10，仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。3）观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值，4）当a<0,b<0时,拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问题研究此函数的图像与性质探究结果当a,b同号时，从对勾函数的图像上看可得到有如下性质：1..定义域：；值域1.整体图像呈“对勾”的形状
3、，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；2.当a>0,b>0时图像在一，三象限当时，由（当且仅当取等号）当时，其性质可仿照进行研究。故而得函数的递增区间是（），（），递减区间是（0，），（,0）当x>0时，在x=时，取最小值，当x<0时,在x=时，取最大值3.当a<0,b<0时图像在二，四象限递增区间是（0，），（,0），递减区间是（），（）当x>0时,在x=时，取最大值，当x<0时在x=时，取最小值互动交流当a,b同号时，很容易从函数的表达式判断该函数的定义域，奇偶性，但是从图像上更直观的观察出这些，尤其是最值与单调区间,但是同时要借助均值不
4、等式来求得端点的数值。2．探究问题当a,b异号时研究对勾函数的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等）探究过程1）当a>0,b<0时，请利用超级画板做出函数的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等1）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a从0慢慢增长到10，b从-10慢慢增长到0仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间,观察函数是否有最值2）当a<0,b>0时,拉动参数a,b对应的滑动块，让a从-10慢慢增长到0,b从0慢慢增长到10类似上述
5、问题研究此函数的图像与性质探究结果当a,b异号时，从对勾函数的图像上看可得到有如下性质：1.定义域：；值域2.整体图像是两条曲线，图像分布于各个象限，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；3.当a>0,b<0时,递增区间是(),(),没递减区间，没有最值；4.当a<0,b>0时,递减区间是(),(),没递增区间，没有最值；互动交流a,b同号与异号两类情况的图像，比较性质的异同点，可以了解当a,b同号时求最值与单调区间是主要研究对象。3.探究问题探究对勾函数，与y=ax和y=的图像的关系探究过程1）在同一坐标系内，通过用超级画板绘制，y=ax和y
6、=的图像；2）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，观察，与y=ax和y=的图像的变化情况，找出它们之间的关系，找出图像的渐近线。探究结果从函数的表达式看是一个正比例函数与一个反比例函数的和，它的图像反映这一点，可以观察到的图像可以看做是y=ax和y=的图像“叠加”而成，并且由图像可以看出有两条渐近线分别是x=0和y=ax。互动交流在拉动a,b滑块时候，也是分两种情况，就是a,b同号与异号，观察在这两种情况下，的图像是不是都与y=ax和y=的图像有关系，是不是都能找到渐进线。拓展探究当时候，探究恒成立时，求k的取值范围探
7、究过程1）问题归结为求在x时最小值，如果用基本不等式，发现x=1才能取到最小值2，但是与题目的x矛盾，故最小值不是22）利用超级画板画的图像，可以看出在时函数是递增的。探究结果在时函数是递增的，所以在x时，也是递增，当x=2时，y有最小值所以k四．实验反思“函数及其性质”是高考的热点、重点，难点。而“对勾函数”是其中一个常见又特殊的函数，了解它的图像性质无疑对学生解题是大有好处的。但是传统的教学方法直接告诉学生对勾函数的图像是什么样子性质是什么不利于学生掌握数学思想方法，而只是单纯记结论而已。真正应该让学生自己通过画函数图像去探究对勾函数的
8、性质，超级画板就提供了这样一个利器，使得这个探究变得方便直观，探究的过程中让学生体会数形结合的数学思想方法，尤其在找单调区间，最值的情况是一目了然。但是超级画板也有局限性，就是在
