2010高三数学高考《函数》专题学案:函数的单调性.doc

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1、第3课时函数的单调性基础过关一、单调性1.定义:如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、

2、减)函数,则f(x)+g(x)函数;2.若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为;3.互为反函数的两个函数有的单调性;4.复合函数y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调相同,则f[g(x)]为,若f(x),g(x)的单调性相反,则f[g(x)]为.5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.典型例题例1.已知函数f(x)=ax+(a>1),证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,>1且>0,∴,又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,于是f(x2)-f(

3、x1)=+>0,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.方法二f(x)=ax+1-(a>1),求导数得=axlna+,∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,>0,用心爱心专心>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.方法三∵a>1,∴y=ax为增函数,又y=,在(-1,+∞)上也是增函数.∴y=ax+在(-1,+∞)上为增函数.变式训练1:讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解:方法一显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)

4、·(1-).∴当0<x2<x1≤时,>1,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,]上是减函数.当x1>x2≥时,0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在[,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,∴f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数.方法二由=1-=0可得x=±当x>或x<-时,>0∴f(x)分别在(,+∞)、(-∞,-]上是增函数.同理0<x<或-<x<0时,<0即f(x)分别在(0,]、[-,0)上是减函数.例2.判断函数f(x)=在定义域

5、上的单调性.解:函数的定义域为{x

6、x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数.f(x)==x2-1的形式.当x≥1时,u(x)为增函数,为增函数.∴f(x)=在[1,+∞)上为增函数.当x≤-1时,u(x)为减函数,为减函数,用心爱心专心∴f(x)=在(-∞,-1]上为减函数.变式训练2:求函数y=(4x-x2)的单调区间.解:由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=t.∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的单调减区间是[2,4),增区间是(0,2].又y=t在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=(4x-x2)

7、的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4).例3.求下列函数的最值与值域:(1)y=4-;(2)y=x+;(3)y=.解:(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈[0,4],∈[0,2],从而,当x=1时,ymin=2,当x=-1或x=3时,ymax=4.故值域为[2,4].(2)方法一函数y=x+是定义域为{x

8、x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x<0时的最值.∴当x>0时,y=x+≥2=4,等号当且仅当x=2时取得.当x<0时,y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值

9、域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值.方法二任取x1,x2,且x1<x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x≤-2或x≥2时,f(x)递增,当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时,f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值.(3)将函数式变形为y=,可视为动点M(x,

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