用判别式求最值.pdf

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1、《数理天地》初中版数学竞赛2O14年第9期·数学竞赛-杜客君(四川省巴中中学636O00)若(+2y)。≥0，(．)，+2)≥0等号同时成立，则一4，．y一一2，此时(+2y)+(+1)。+(．y+2)一3≥22；所以的最小值不是一3．同理在错解2中，当—一0时；(z+2+1)+2r++1—2>1，当一0，z+2y+1—0时；例设17"／一2x。+5y+4scy+4y+2cc+(+2+1)++。+1一{+1一号>1．2，、．)，是实数，求m的最小值．此题一般有以下两种错解．当Y一0，+2y+l一0时；(+2．)，+1)+．2-。++l一1+1—2>1．错解1一

2、2x+5y2+4+4+2+2一(+2y)+(+1)+(+2)一3．所以m的最小值也不是1．分析一般求关于某个字母的二次多项因为(+2y)≥0，式的最值时，常考虑使用配方法，但本题使用配(+1)≥0，方法是行不通的．换个角度思考，如果最值存在(+2)≥0，时，那么它对应的一元二次方程有实数根，则判所以(+2y)。+(+1)+(+2)一3≥一3，别式的值非负．反之，也成立．故本题可用判别故的最小值是一3．式得出正确的答案．错解22z+5+4xy+4y+2x+2正解因为m一2x。+5y。+4xy+43,+一(+2y+1)+++1．2x+2，因为(+2+1)≥0，所以

3、2+(4y+2)+5y+4y+2一m一0．。≥0，由题意知≥0，Al一(4y+2)。一8(5y+4y+2一m)所以(+2+1)。+++1≥1，一16y+16．)，+4—40y。一32y一16+8m故的最小值是1．=一24y一16y一12+8m≥0．在错解1中，(z+2y)。≥0，(z+1)≥0，所以24y。+16_y+12一8m≤0．(+2)。≥0，三个不等式的等号不能同时取要使不等式24y+16y+12—8m≤0有解，到．须A2—16一96(12—8m)≥0，若(+1)≥0，(+2)≥0等号同时成8—3(12—8m)≥0，立，则8—36+24m≥0，z一一1

4、，=一2。24m≥28，此时(z+2y)+(+1)+(+2)一3≥22；可得≥÷，若(+2y)≥0，(z+1)≥0等号同时成U立，则一一1，一妻，故的最小值是÷，此时o此时(+2y)z+(+1)+(Y+2)一3≥13；11．)，一～5-，z一一百‘·30·