除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解.doc

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1、除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。评价已经被关闭    目前有1个人评价一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q还可以用多项式的

2、除法。一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27q

3、a3由p=-3ab可知27a6+p=27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。x(x2+b)+a(x2+b)+c-ab=0一元三次方程的一般形式为X^3+sX^2+tX+u=0（s,t,u为常数），令f(x)=X^3+sX^2+tX+u,则求方程的解转化成求函数f(x)的零点。把函数的图象向右平移s/3个单位，则可消去两次项，得f(x-s/3)=X^3+(t-s^2/3)X﹣2s^2/27+u,令X^3+(t-s^2/3)X﹣2s^2/27+u=0，t-s^2/3=﹣p,﹣2s^2/27+u=﹣q,则X^3=pX+q.（则

4、p,q为常数）假设此方程的解X=a-b,这里，a和b是待定的参数。代入方程得a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=p(a-b)+q整理得a^3-b^3=(a-b)(p+3ab)+q.①由二次方程理论可知，一定存在a和b，使得X=a-b和p+3ab=0（则p=﹣3ab）同时成立。这样①式就是a^3-b^3=q，两边同乘以27a^3，得27a^6﹣27a^3b^3=27qa^3。由p=﹣3ab可知27a^6+p^3=27qa^3。这是一个关于a^3的二次方程，所以可以解得a，进而解出b和根X。则这个根X-s/3是函数f(x)的零点，所以X-s/3就是方程X

5、^3+sX^2+tX+u=0的根。另外，归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB

6、)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3由此可解出A和B，从而进一步可求出X但求出的X只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。韦达定理即根与系数的关系。对于一元二次方程ax^2+bx+c=0来说，若它的两个根为x1、x2，则x1+x2=-b/ax1*x2=c/a对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0来说，

7、若它的三个根为x1、x2、x3，则x1+x2+x3=-b/a1/x1+1/x2+1/x3=-c/dx1*x2*x3=-d/a对于一元n次方程x^n+a1*x^(n-1)+……+an-1*x+an=0来说（式中a1、an-1、an的1、n-1、n为a的下标），若它的n个根为x1、x2、……、xn。则x1+x2+……+xn=-a1x1*x2+x1*x3+……+xn-1*xn=a2x1*x2*x3+x1*x2*x4+……+xn-2*xn-1*xn=-a3……x1*x2*……*xn=(-1)^n*an以上就是根与系数的关系。