《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一).ppt

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1、第六章　多自由度系统振动(一)§6-1用刚度法与柔度法列运动微分方程1．刚度法图示简支梁，刚度系数kij定义为：使质量mj的位移xj＝1而其余质量位移xi＝0(i≠j)时在xi处所需要（施加）的力。一般情况下，若各质量均有位移x1、x2、...、xn，则在xi处所需力的总和为：设每一质量mi上作用的外力为Fi(t)，对每一质量运用牛顿第二定律，可得运动微分方程：用矩阵符号可写成：〈例〉求图示五自由度系统的刚度矩阵。解：首先用力使m1产生单位位移，并用力使其余质量不动，则需要给m1的力为k1与k2的弹性力和，即k11＝k1+k2。此时m

2、2需加力为k2，沿x的负方向，即k21＝-k2，其余质量不必施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。用类似方法可得其余刚度系数，于是有：利用功的互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji，于是上述刚度矩阵为：⒉柔度法柔度系数aij定义为：在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生的位移。于是：若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产生的位移将是aij*F；若在第j个质量上作用的是惯性力，方向与坐标相反，则在第i个质量上产生的位移将是；若所有质量都有惯性力，则：若所有质量都有惯性力，则：写成矩阵形式为：或写成：在刚度矩

3、阵[K]非奇异条件下，柔度矩阵[A]与刚度矩阵[K]存在如下的互逆关系：与刚度矩阵类似，有aij＝aji。〈例〉求图示三自由度简支梁柔度矩阵。已知梁的EI、L。解：利用简支梁在单位集中力作用下的挠度公式其他柔度影响系数：mm2mPL柔度矩阵为：问题：[A]中元素是否一定为正？〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。解：易得刚度矩阵为：m1上加单位力，各质量的位移分别为：m2上加单位力，各质量的位移分别为：〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。m3上加单位力，各质量的位移分别为：柔度矩阵为：〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩

4、阵和柔度矩阵。对弹性系统来说，总存在刚度矩阵，但不一定存在柔度矩阵，当系统中存在刚体位移（模态）时，就是这种情况，此时，刚度矩阵是奇异的，矩阵行列式等于零，因而不存在逆矩阵。如本例中的k1=0拉格朗日方程在建立多度系统动力学微分方程时是非常有效的。设广义坐标qj，则拉格朗日方程可表为：§6-2用拉格朗日方程列振动微分方程式中：Qj为对应于广义坐标qj的广义力。对于保守系统，L＝T－U，有(T为系统动能，U为势能，L称为拉氏函数)〈例〉求图示三自由度系统的运动微分方程。解：系统动能为：势能为：拉氏函数：〈例〉求图示三自由度系统的运动微分

5、方程。同样可以求出另外两个微分方程：〈例〉求图示两自由度系统的运动微分方程。解：质量m的位置坐标为系统动能为：一般来说，拉格朗日方程对于刚度矩阵或柔度矩阵不易求出的振动系统更能显示其优越性。LmMkxφx系统势能为：φx系统拉氏函数为：φx邹经湘老师书P52“动能T与广义坐标无关(因质量是常数)”说法是存疑的。在上一章，我们已讨论了二自由度系统的固有频率与主振型，现在我们来讨论n自由度系统的情况。n自由度系统自由振动微分方程为：§6-3固有频率与主振型（特征值与特征向量）非零解条件为：非零解条件为：此式称为系统的频率方程或特征方程，对

6、于正定或半正定实对称矩阵[M]与[K]，它有n个正的实根ωi(i＝1,2,...,n)，特征值λi等于固有频率ωi的平方，即将ωi代入(*)式即可得到n个主振型(特征向量){u}i对任意j，同样有§6-4主振型（特征向量）的正交性特征对满足特征矩阵方程：将(a)式两边转置后右乘{u}j，得(c)(d)两式相减，得：若i≠j，则ωi≠ωj，于是说明各个主振型关于[M]与[K]存在加权正交性。Mi与Ki分别称为第i阶模态质量与模态刚度。用前面两自由度例子说明有时，系统的频率方程或特征方程会出现重根的情况，此时，按前面的方法就不能唯一确定特

7、征向量。§6-5等固有频率（重特征值）的情况设λ1＝λ2＝λr，{u}1与{u}2是对应的特征向量，即有则{u}1与{u}2的线性组合{u}r＝（a{u}1＋b{u}2）也是特征值λr的特征向量。事实上，有另外，由特征向量的正交性，有由此即可求出重特征值的特征向量{u}1和{u}2。具有重特征值的系统，有时又称为“简并”系统或“退化”系统。〈例〉求图示三自由度系统的特征对（固有模态）。解：特征矩阵方程为：频率方程为：将　　代入特征矩阵方程　　　　　　　　　　，求出：将　　　　代入特征矩阵方程，求出：先求　　　　　　　　　　，它有两个元

8、素可任选，取再求,它满足关于[M]与[K]的正交性条件：取u13＝1，则u33＝0，u23＝－1可以检验特征向量关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性各阶振型物理意义描述如何？振动微分方程§6-6主振型矩阵与标准振型矩阵通常既是