结构动力学多自由度.ppt

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1、多自由度体系的振动分析运动方程多自由度体系的动力平衡方程：即：考虑几何刚度：或弹性特性刚度的定义：表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所产生的的力。弹性特性柔度的定义：—在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。则任意荷载组合下：用矩阵表示：结构的基本概念应变能：由于应变能恒大于零，故、为正定矩阵。故、互为逆矩阵。Betti定律情况1：情况2：Betti定律由能量相等原理：Betti定律说明：第一组荷载在第二组荷载所引起的位移上所做的功，等于第二组荷载在第一组荷载所引起的位移上所做的功。由Betti原理故、均为对称矩阵。单元刚度矩

2、阵单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。单元刚度系数由虚位移法求得。例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角，并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的功。单元刚度矩阵等截面梁的刚度矩阵：当结构的全部有限自由度的刚度系数均以求得后，只要适当地叠加单元的刚度系数，就能得到整个结构的刚度，这就叫做直接刚度法。结构的任何一个刚度系数，都能通过与这些节点相连的单元，所对应的刚度系数叠加求得。质量特性集中质量矩阵：任何结构的质量特性，最简单的方法是假定全部质量凝聚在某些需要计算平移位移的点上，为了确定配置在每一个节点上的

3、点质量，常用的方法是假定结构分割成段，以节点做为连接点。一致质量矩阵：阻尼特性其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。一致节点荷载若荷载的分布形式不随时间变化几何刚度几何刚度表示结构在轴向荷载分量作用下引起的屈曲趋势，它不仅依赖于结构的外形，而且依赖于荷载条件。对某一微段：对于梁系的线性近似形式，结构的几何刚度矩阵具有三对角形式两个相邻单元提供了对角线项，单个单元提供了各个非对角线项，或称耦合项。一致几何刚度：静力凝聚从刚度矩阵中消去不要的自由度的过程叫做静力凝聚。无阻尼自由振动—振动频率分析略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响：假定以上多自由度体系的

4、振动是简谐振动：表示体系的形状，不随时间变化。无阻尼自由振动—振动频率分析即：上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。可以证明，稳定的结构体系具有实的、对称的、正定的质量和刚度矩阵，频率方程所有的根都是实的和正的。称为频率方程或特征方程。将频率方程展开，可得到一个关于w2的n次代数方程。从频率方程可解得n个正实根；开方得到各阶频率，记作：如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：频率谱：w1

5、。从频率方程可解得n个正实根；开方得到各阶频率：频率方程：Nextstep?求——振型（Modeshapes）。多自由度体系的自由振动方程无阻尼自由振动—振型分析则：上式中，振型的幅值不能确定。振动体系的形状可以按照任何一个坐标所表示的各点位移来确定。振型可理解为各自由度幅值的相对值！无阻尼自由振动—振型分析展开：从而：无阻尼自由振动—振型分析即：故：以上为求解第n阶频率对应振型的方法。∴第i个振型方程中的n个方程中只有n-1个是独立的！——无法得到j1i、j2i、…、jni的确定值，但可以确定各质点振幅之间的相对比值：——振型的幅值是任意的，但形

6、状是惟一的。∵j称为振型矩阵；ji称为对应于第i阶频率wi的主振型，简称第i阶振型；为了描述振型的形状，进行规格化处理；振型规格化处理方式很多，原则：保持形状不变！最简单可取ji的第一个元素j1i=1；振型方程：（4-15）按j1i=1进行振型规格化：得到按j1i=1规格化的振型：（4-19）（4-18）对于有n个自由度的体系，可以得到n个线性无关的主振型：规格化的主振型矩阵：（4-19）无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：第i阶振型的特解：用规格化振型表示成：这样的特解有n个！振型的物理意义无阻尼自由振动—振型分析将N个振型中的每一振型形式，用F

7、表示N个振型所组成的方阵。以上矩阵为结构的振型矩阵，为一N*N方阵。无阻尼自由振动—振动分析的柔度法各项前乘，可得：即：注意：即使质量矩阵和柔度矩阵都是对称的，它们的乘机也是不对称的！求解结构特征值的另一种方法：无阻尼自由振动—轴向力的影响频率方程：此时，只须将组合刚度中的矩阵代替弹性刚度矩阵，分析方法如前所述，对于任何给定的轴向荷载都可以计算其几何刚度以及组合刚度。体系在轴向压力作用下，减小了结构的有效刚度，振动频率亦因此降低。。自由振动情况：无阻尼自由振动—轴向力的影响引入基准荷载作用下的几何刚度：屈曲荷载：若振动频率为零，则：实际上，只有第一

8、阶屈曲荷载以及形状才是有意义的。无阻尼自由振动—轴向力的影响动力平衡方程：简谐振动的屈曲：若结构受外力作用定义：无阻尼自由