材料非线性有限元法.doc

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1、第四章材料非线性有限元法以上三章分别研究了线性弹性有限元法，材料非线性本构方程和非线性方程组解法，本章就可以研究材料非线性有限元法了。在材料非线性基本方程中，除第二章所述的本构方程外，与线性弹性一样，而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题。因此，只要在第一章中改用第二章的本构方程，就可建立材料非线性有限元法的基本内容。§4-1非线性弹性有限元法第二章提到，非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同，所以与第二章一样，这里也按塑性力学形变理论，研究非线性弹性有限元法，以便把二者统一起来。1

2、．非线性弹性基本方程为了便于以后直接引用，这里列出全量形式的非线性弹性（或形变理论弹塑性）基本方程，并用矩阵表示。几何方程：(1.14)本构方程：=[D](2.13)平衡方程：(在内)(1.20)边界条件：（在A上）（1.22）（在A上）(1.23)虚功方程：(1.28)位能变分方程：=0(1.31)其中(1.32)(4.1)2．非线性方程组的建立由于虚功方程本身不涉及材料性质，所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程（1.48）式和总体平衡方程（1.109）式完全适用于非线性弹性（或形变理论弹塑性）问题

3、。可见，只要把非线性弹性（或形变理论弹塑性）本构方程代入单元或总体的平衡方程，就可以建立非线性方程组。（1）割线刚度方程仿照线性弹性有限元法，把（1.36）式代入（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式便得单元割线刚度方程，即(4.2)其中单元割线刚度矩阵(4.3)而割线本构矩阵[]，如（2.14）式所示。仿照（1.113）式的推导，同样可得总体割线刚度方程即(4.4)其中总体割线刚度矩阵(4.5)而总体节点载荷{P}仍如（1.110）式所示。由（4.5）式可知，总体割线刚度矩阵[K]取决于

4、各单元的等效应变；又由（2.5）式可知，等效应变是由应变{}计算出来的；再由（1.36）和（1.106）式可知，应变{}与总体节点位移{U}有关。可见，总体割线刚度矩阵[K]是总体节点位移{U}的函数，所以总体割线刚度方程（4.4）式是一个非线性方程组。必须指出，建立非线性方程组（4.4）式，只是为了说明非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程的非线性性质。实际求解时并不用（4.4）式。因为求解（4.4）式要用直接迭代法，而正如3-2指出，直接迭代法不但计算量太大，而且常常不收敛。（2）切线刚度矩阵由3

5、-2---3-6可知，在求解非线性方程组时，除上述直接迭代法外，都要用到切线刚度矩阵（至少要用到初始切线刚度矩阵[k]和[K]）。为此，这里讨论一下建立非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程中的切线刚度矩阵问题。由（1.109）和（3.11）式可知(4.6)于是由（3.10）和（4.6）式可得(4.7)由于由（2.16），（1.36）和（1.106）式，并考虑到符号d{}和d{}分别是{d}和{d}，有(4.8)(4.9)(4.10)所以把（4.8）---（4.10）式代入式（4.7）式便得总体割线刚

6、度矩阵，即(4.11)其中单元切线刚度矩阵(4.12)（3）具有初应变理论或初应力的刚度方程仿照线性弹性有限元法，把形式上相同的（3.101）式代入（2.13）式，并令{}={0}或{}={0}，再把（2.13）式代入（1.48）式便得单元刚度方程，即(4.13)或(4.14)其中单元刚度矩阵和初应变，初应力节点载荷，{}仍分别如（1.50）和（1.53）、（1.54）式所示。但要强调，这里[k]的含义是单元初始切线刚度矩阵；{}中的初应变{}或{}中的初应力{}随迭代过程而变。仿照线性弹性有限元法，同

7、样可得总体刚度方程，即(4.15)或(4.16)其中总体刚度矩阵[]和总体初应变、初应力节点载荷{}、{}在形式上均与线性弹性有限元法相同。3．等效应力、等效应变关系由（4.11）---（4.16）式可知，要建立并求解非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程，关键是要具体知道材料的本构矩阵。而由（2.14）和（2.18）式可知，只要（2.15）和（2.19）式中的函数关系是已知的，那么本构矩阵就是显式的。根据单一曲线假设，和的关系与单向拉伸时相同，即(4.17)再考虑体积不可压缩条件（），则(4.18)

8、其中取决于所采用的简化模型。理想塑性（见图4-1）：(4.19)线性强化塑性（见图4-2）：(4.20)幂次强化塑性（见图4-3）：，（4.21）4．迭代公式的具体化由于非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程一般都写成全量形式，所以这里只相应的列出几种迭代类型解法的具体迭代公式。（1）Newton-Raphson法由（1.36）、（1.106）和（2.5）式以及（3.17）和（3.18）式，有（4.22）（4.23）（4.24）(4.25