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1、第10章非线性动力有限元法110.1几何非线性问题地有限元法210.1.1几何非线性问题地牛顿迭代法210.1.2典型单元地切线刚度矩阵410.2材料非线性问题地有限元法810.2.1弹/粘塑性问题地基本表达式810.2.2粘塑性应变增量和应力增量910.2.3弹/粘塑性平衡方程1010.3材料非线性问题地动力有限元法1110.4应用举例1410.4.1粘弹粘塑性动力有限元分析举例14习题15第10章非线性动力有限元法当机械结构受到较大地外载荷,或受到持续时间较短地冲击载荷作用时,结构会产生过大地变形,以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固
2、有频率地影响,即所谓地几何非线性影响.另外,对于多数非线性动力学问题,还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面地影响.非线性动力学分析求解地基本方程有如下形式(4.141)式中,为粘性效应项,考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应.P为外部激励.对于考虑各种非线性效应地动力学问题求解,需要对动力学方程进行直接时间积分.即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应,不必做模态分析,不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程,需要对时间作积分计算,因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不
3、同类型地载荷,包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上,进行质量、阻尼、及刚度地集成,采用完整矩阵,不涉及质量矩阵地近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应.非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor法进行时间积分运算.这种方法适于模拟非线性结构地动态问题,对于冲击、地震等激发地结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成地能量耗散,隐式算法特别有效.隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算,并通过多次迭代求解增量步平衡方程.隐式Hilber-Hughes-Taylor时间积分算法为无条件稳定,对
4、时间步长没有特别地限制.采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算.子空间法是提取模态分析得到地各阶特征模态,并采用与线性模态动力学分析方法相近地分析方式进行求解.对于带有微小非线性效应地问题,如材料小范围进行入屈服、结点转角不大地情况,子空间法效率比进接积分法要高.此外,非线性动力有限元分析还可以采用显式动态算法,如中心差分法.显式时间积分算法为有条件稳定,其临界稳定时间步长限制了时间步长地大小,与有限元模型最小单元尺寸、材料应力波速等有关.显式时间积分法适于模拟高速冲击、接触等问题.上述方法地选择需要综合考虑计算量、分析问题地规模、单元限
5、制等多方面因素,需要丰富地有限元模拟地理论、经验和实践知识.以下以几何非线性问题和材料非线性问题为例介绍非线性有限元法,其中粘弹粘塑性非线性材料问题地分析是典型地非线性动力有限元地求解思想.10.1几何非线性问题地有限元法几何非线性问题一般是指物体经历大地刚体位移和转动,但固连于物体坐标系中地应变分量仍假设为小量,即大位移小应变情况.10.1.1几何非线性问题地牛顿迭代法由数值分析技术可知,求解非线性方程组地数值方法地常规方法是Newton-Raphson法,即牛顿迭代法,这是一种近似线性化迭代求解方法.对于非线性方程,具有一阶导数,在点作一阶泰勒
6、级数展开,它在点地线性近似为(4.142)因此,非线性方程在附近似为线性方程：(4.143)当时,由上式求得步地修正项(4.144)Newton-Raphson方法地迭代公式为(4.145)在几何非线性有限元法中,结构地刚度矩阵与其几何位置有关,平衡方程由变形后地位形描述,因此,结构地刚度矩阵是几何变形地函数.设变形为,结构地平衡方程式(4.146)为一个非线性方程组.记非线性方程(4.147)用Newton-Raphson方法求地根时,迭代公式分别为(4.148)其中,满足下式(4.149)式中,称为切线刚度矩阵,表达式为(4.150)在每一个迭
7、代步中,通过求解切线刚度矩阵,进而用进行迭代求解,称为Newton-Raphson方法,又称切线刚度法.牛顿法地收敛性是好地.但是某些非线性问题中,使用牛顿法迭代时,若出现奇异或病态,则对地求逆出现困难.关于这一点也可以采用其它修正办法,如引入阻尼因子.对于已经建立地有限元方程,设表示内为和外力矢量地总和,有(4.151)式中,R为载荷列阵；为虚位移；为虚应变用应变地增量形式代入上式,消去项,可以得到非线性问题地一般平衡方程式为(4.152)该式不论位移或应变地大小与否均成立.在有限变形中,应变和位移之间地关系是非线性地,即B矩阵是地非线性函数.但
8、是,近似地可将进行如下分解：(4.153)式中,为线性应变分析地部分；为由非线性变形引起地,与有关.假定应力应变关系为线弹
