有限元非线性分析

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1、XIII非线性分析13.1简介本章将从实际应用的角度讨论非线性静态有限元分析。但是如何知道我们的问题是非线性呢？最好的方法是考察一个或多个关键荷载作用点的荷载-位移响应。如“分析类型”一章所述，当结构的响应（变形、应力和应变）与荷载（力、压力、力矩、扭矩、温度等）成线性比例关系，这样的分析就是线性分析。当荷载与响应的关系不是线性关系时，这个分析就是非线性分析（如下图所示）。例如，当一个金属受压构件受到相对于材料强度来说较小的荷载作用时，结构的变形将与荷载成线性比例关系，此时结构变形为线性静态变形。但是实际应用中的多数情况下不仅材料

2、是非线性的，结构的几何形状改变也是非线性的。为了降低成本，利用非金属材料（高分子材料、木材、复合材料等）的优点，非金属材料正在许多应用中替代金属材料。在这些应用中，荷载与特征响应的关系是非线性的，即使仅受到轻微的荷载。结构会被优化设计，让荷载接近材料强度，以充分利用材料性能。此时也会开始有非线性行为了。在这些情况下，为了准确地预测结构强度，有必要进行非线性分析。线性与非线性响应对比如之前的章节所述，在静力分析中假定与荷载和响应有关的刚度矩阵是常量。但是，现实世界中所有的结构行为都是非线性的。刚度矩阵中包含了几何参数如长度、截面积、

3、惯性矩等，还包含材料属性如弹性模量、硬化准则等。静力分析假设这些参数在结构荷载作用下不发生改变。另一方面，非线性静力分析考虑了在加载过程中这些参数的变化。这些变化体现在刚度矩阵的更新上，每个荷载增量作用以后，刚度矩阵都会根据变形以后的结构（即变化后的属性）重新创建。需要指出的是，虽然现实世界是非线性的，但在许多情况下线性假设是可行的，也就是说可以用线性分析来替代。从计算资源的角度来说，线性分析消耗的计算资源更少。13.2线性和非线性FEA对比下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应

4、力-应变度量等主要不同将在本章详细介绍。序号特征线性问题非线性问题1.荷载-位移关系位移与荷载成线性关系，刚度是常非线性问题的刚度是随荷载变化数。位移引起的几何变形认为是小变的函数。位移可以很大并且几何形并且可忽略。初始状态或未变形的变形不可忽略。因此刚度是荷载状态作为参考状态。的函数。2.应力-应变关系在比例极限/弹性极限之前是线性的。是关于应力-应变或时间的非线性杨氏模量等属性可以很容易得到。函数，获取这个关系比较困难，需要大量的材料实验。注意真实应力和工程应力之前的差别。3.比例缩放可以。如果1N的力引起了x个单位位不可以。

5、移，那么10N的力将产生10x的位移。4.线性叠加可以。可以进行工况的线性组合。不可以。5.可逆性在卸掉外荷载后结构的行为是完全卸载后的状态与初始状态不同。可逆的。这也意味着荷载的顺序并不因此不能进行工况叠加。加载历重要并且最终状态不会受有加载历史非常重要。史的影响。6.求解序列荷载一次性加载，没有迭代步。荷载被分解到多个小的增量步进行迭代加载以保证每个荷载增量步都满足平衡条件。7.计算时间短长8.用户与软件的交互要求很少需要经常查看软件状态，因为可能无法收敛。13.3非线性的类型有三种基本的非线性类型：几何非线性、材料非线性和接

6、触非线性。回顾线弹性的概念——小变形并且应力与应变成比例。线弹性1)几何非线性几何非线性可能与以下几种情况有关：1)大应变2)大转角3)大变形几何非线性会考虑大变形可能引起的几何截面变形（在线性静力分析中截面假定为常量）。大位移也可能由几何屈曲引起。屈曲是构件在受到较大的压应力情况下的突然失效现象。实际上失稳时的压应力小于材料的根限压应力。因此平衡方程必须参考变形后的结构几何重写。此外，在荷载增加的过程中，方向可能会发生变化，比如压力作用下膜结构膨胀。（参考Conceptsandapplicationsoffiniteelemen

7、tanalysis;R.D.Cooket.al,595页）大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）K.J.Bathe,FiniteElementeMethoden在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx=∂u/∂x，也就是说在表达式εx=∂u/∂x+...[(∂u/∂x)z+(∂v/∂x)z+(∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关系也不一定是线性的。2）材料非线性材料非线性的特点非线性材料（小位移）K.J.Ba

8、the,FiniteElementeMethoden所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。