cap6_3~4_惯性定理 正定二次型与正定矩阵.ppt

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1、化学数学重庆师范大学化学学院物理化学工教研室谌虹第一部分线性代数第六章二次型第一节二次型第二节化二次型为标准型第三节惯性定理第四节正定二次型与正定矩阵第三节惯性定理限定所用的变换为实变换来研究二次型的标准形所具有的性质。一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法、初等变换法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。但比较各个不同的标准形会发现，其中所含有的系数不为零的平方项的个数是确定的，项数等于二次型的秩，且正平方项、负平方项的个数也相同。即有下列定理：证明略（P117）说明：因为标准形的矩阵B是对角

2、阵，对角阵B的秩等于对角线上非零元素的个数p+q，所以二次型f的秩=矩阵A的秩=矩阵B的秩=p+q=r即，对一n阶实对称阵A，不论取怎样的可逆阵C，只要使di>0(i=1,2,...,p+q)p+qn成立，则p和q是由A唯一确定的.定义1即二次型XTAX(所化成)的标准形中：正平方项的项数(与A合同的对角阵中正对角元的个数)，称为二次型(或A)的正惯性指数；负平方项的项数(与A合同的对角阵中负对角元的个数)，称为二次型(或A)的负惯性指数；正负惯性指数的差为符号差。为此特给出下列定义：n阶实对称矩阵A的秩为r，正惯性指数为p，则负

3、惯性指数q=r-p符号差p-q=2p-r与A合同的对角阵的零对角元个数为n-r推论1(6.15)右端称为二次型的规范型，显然，它是唯一的。(6.16)式中的对角阵称为A的合同规范形。或设A为n阶实对称矩阵，若A的正负惯性指数分别为p和q，则A~diag(1,...,1,-1,...,-1,0,...,0)(6.16)其中1有p个,-1有q个,0有n-(p+q)个。证根据惯性定理，存在可逆阵C1，使得其中1分别有p,q个，0有n-(p+q)个。取C=C1C2，(6.16)式成立；取X=CY(C可逆)(6.15)式成立。如果两个n阶实

4、对称矩阵A,B合同，我们也称它们对应的二次型XTAX和YTAY合同。根据上面的结果不难证明:两个对称矩阵A,B合同的充要条件是：A,B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数。定义3注：§6.1合同矩阵的定义作业P123习题六6、第四节正定二次型与正定矩阵定义例如为正定二次型为负定二次型正定矩阵的简单性质正(负)定二次型的判别定理证明(1)充分性(2)必要性注：取xi=1,xj=0(ji),代入二次型,得f(0,...,0,1,0,...,0)=ki>0综合(1)，(2)命题成立！证毕！推论对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的特征值全

5、为正。定理证明证毕！由上述两个结论可见，一个二次型XTAX(或实对称矩阵A)，通过可逆(非退化)线性变换X=CY，将其化成标准型(或规范形)或将A合同于对角阵，即CTAC=Λ，就容易判别其正定性。根据上面的定理，可以得到判别二次型是否正(负)定的几个等价的条件：定理证明：略（P121）证(i)(ii)对于A,存在可逆阵C使得CTAC=diag(d1,d2,...,dn).令X=CY就有XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2如有一个di0,则上式必不恒大于零,与命题(i)矛盾,故A的正惯性指数为n

6、,从而AI.(ii)(iii)由CTAC=I(C可逆),得A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1,取P=C-1,则有A=PTP.定理若A是n阶实对称矩阵,则下列命题等价:(i)XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵);(ii)A的正惯性指数为n,即AI;(iii)存在可逆阵P,使得A=PTP;(iv)A的n个特征值l1,l2,...,ln全大于零.(iv)(i)对于n阶实对称矩阵A,存在正交阵Q,使得QTAQ=diag(l1,l2,...,ln),作正交变换X=QY,得XTAX=l1y12+l2y22+...+ln

7、yn2.由于已知特征值l1,l2,...,ln都大于零,故XTAX正定(ii)(iii)设AX=lX,即(PTP)X=lX,于是便有XTPTPX=lXTX,即(PX,PX)=l(X,X).由于特征向量X0,从而PX0,故A的特征值霍尔维茨定理直接从二次型的矩阵A本身判定它是否正定的方法。定理3(1)n元实二次型f=XTAX正定(对称矩阵A正定)的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都大于零(为正)。*(2)n元实二次型f=XTAX负定(对称矩阵A为负定)的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维

8、茨定理。证明略例1判别二次型是否正定。解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2P121例1自学例3判别二次型是否正定。解例4判别二次型是否正定。解用特征值判别法.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵故此二次型为正定二次型.例5P121例2