非饱和土壤水流问题的降阶外推仿真模型.pdf

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1、2014年2月15日出版Vo1．35，No．2，Feb．15，2014文章编号：1000．0887(2014)02．0148．14⑥应用数学和力学编委会，ISSN1000—0887非饱和土壤水流问题的降阶外推仿真模型腾飞．罗振东(1．凯里学院数学科学学院，贵州凯里556011；2．华北电力大学数理学院。北京102206)摘要：利用Crank—Nicolson有限体积元方法和特征投影分解方法建立二维非饱和土壤水流问题的一种很少自由度、精度足够高的降阶外推仿真模型。并给出这种降阶外推仿真模型的降阶近似解误差估计和算法实现．最后用数值例子说明数值结果与理论结果相吻合，并阐明这种降阶外

2、推仿真模型的优越性．关键词：非饱和土壤水流问题；降阶外推仿真模型；二阶时间精度；误差估计中图分类号：0242．21文献标志码：Adoi：10．3879／j．issn．1000—0887．2014．02．004引言非饱和土壤水流问题是指土壤中水分没有充满土壤空隙的自然现象．土壤中的水分含量直接影响着气候和环境及生态的变化．因此，对土壤中的水分含量变化做预测预报有着很重要的现实意义．根据水动力学原理和Darcy定律，非饱和土壤水流问题可描述为含有复杂的源项和非线性水动力扩散系数的偏微分方程l1-3]，因此，通常没有解析解，只能求其数值解l1。]．文献[1]给出了非饱和土壤水流问题的

3、一些有限差分算法，文献[2]给出了一种集中质量有限元算法(没有理论分析)．由于有限体积元方法_34]能保持局部的质量或能量守恒．比有限差分法精度高而且能适应边界复杂的计算域又与有限元方法有同阶精度，并要比有限元方法便于计算(事实上，有限体积元方法最终可通过体积元转化为差分格式计算，并可以借助有限元方法做解的存在性、稳定性和收敛性的理论分析)．因此，有限体积元方法被公认为最有效的数值方法之一．所以，利用有限体积元方法求解非饱和土壤水流问题比用有限元法和有限差分方法更有优势．虽然文献『3]已经给出的非饱和土壤水流问题时间一阶精度的经典有限体积元格式具备了有限体积元方法的优点，但是对

4、于实际工程问题，经典的有限体积元格式含有很多自由度(等于网格节点数目)．这样，由于计算过程中截断误差的积累，经典的有限体积元格式计算若干步后，可能会出现浮点溢出，无法继续计算出所需近似解．因此，亟待解决的重要问题是：如何在收稿日期：2013—09．02；修订日期：2013—12—25基金项目：国家自然科学基金(11271127)；贵州省教育厅自然科学研究项目(黔教合KY字[2013]207)作者简介：腾飞(1986一)，女，吉林人，讲师，硕士(E-mail：tengfeikl@126．com)；罗振东(1958一)，男，广西桂平人，教授，博士，博士生导师(通讯作者．E—mail

5、：zhdluo@ncepu．edu．en)．14R腾飞罗振东149保证数值解有足够精度的前提下，尽量降低有限体积元格式的自由度、简化计算、节省计算量和存储要求、减少计算过程中截断误差的积累，以便获得理想的数值解．大量实践证明：特征投影分解(propero~hogonaldecomposition，简记为POD)方法是一种能极大地降低数值模型维数的高效逼近方法．该方法已经广泛地应用于包括信号分析和模式识别、统计学及地球物理流体动力学和气象学等多个领域．POD方法就是在最小二乘意义下，去寻找可代表已知数据的一组正交基，也就是求已知数据的一种最优逼近．早年，POD方法主要用于数据挖掘

6、和统计中的主分量分析或寻找动力系统的主要特征J．直到最近，才有一些基于POD方法的降阶有限体积元模型_l”被建立．虽然文献[13]中已经建立了二维非饱和土壤水流问题基于POD方法的降阶有限体积元模型，但只有一阶时问精度．这样，为了得到足够高的时间精度，时间步长必须取得足够小，从而增加了计算迭代步数，也会增加计算过程中截断误差的积累，影响计算精确度．特别地，现有基于POD方法的降阶有限体积元模型(例如文献[10-13])都是用整体时间段[0，T]上的经典有限体积元解作为瞬像，去构造POD基和基于POD方法的降阶有限体积元模型，然后用这些降阶模型重复模拟相同时间段[0，T]上的数值

7、解．本文改进现有的方法，利用Crank．Nicolson(CN)有限体积元方法和POD方法建立二维非饱和土壤水流问题的一种自由度很少、精度足够高的降阶外推仿真模型，并给出这种降阶外推仿真模型近似解的误差估计和算法实现．最后用数值例子说明数值结果与理论结果相吻合，并阐明这种降阶外推仿真模型的优越性．这种外推仿真模型能提高时问离散的精度，极大地减少自由度和时问方向的迭代步，从而减少实际模拟计算中截断误差的积累，提高计算精度和计算效率．本文与现有文献(如，文献[10—13])的主要区别在于：仅用很