模型降阶方法综述

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1、模型降阶方法综述大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了•些新的经典模型降阶方法的进展。文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。一、Pade逼近法Pade逼近法是大系统模型简化屮最早出现的一种经典降阶方法。到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式（或传递函数阵为有理分式阵）

2、的场合。降阶方法简单，易于编制上机程序，低频（稳态）拟合性能好。但是，Pade逼近法的高频（动态）拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型穂定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大Y计算量；Chuang和Shamash先后提出在s=0和.=oo附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型;Shih等采用线性变换方法

3、将GG）中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展歼式的收敛域，并巾此选出稳定的降阶模型。为Y克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。二、时间矩法时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令吋间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。因此，时间

4、矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。有的学者从时间矩或马尔可夫参数组成的Hankel阵出发，提出了相应的模型降阶方法，但本质上仍属于时间矩法的范畴。三、连分式法连分式是函数论中研究得比较深入的课题。1974年左右，开始应用连分式进行模型降阶，5年后，又推广于多变量系统降阶。连分式降阶法的基本出发点是：将真有理传递函数G(s)在、=0附近展成连分式，然后截取前面起主耍作用的若干项(也称偏系数)构成降阶模型。由于连分式比其他多项式或幂级数展开式收敛快，少量偏系数就能反映原系统的主要信息，所以连分式法是一种很有效的频域模型降阶方法，至今仍

5、被广泛应用。在降阶过税中，常用的连分式有：Cauer—I型，Cauer一II型，Cauer一III型，修正Cauer型和Jordan型等。在现代频域降阶法中，连分式法的计算量最少，数学和物理概念直观，降阶手法灵活且易掌握。连分式降阶法的拟合优度不亚于时域最优化法，但后者的寻优程序十分复杂。此外，连分式降阶法也不必求取系统的本征值，因此不但工程技术人员乐于接受，也引起了控制学界的广泛注意，纷纷从函数结构、近似理论、时矩理论和级数理论等不同角度探讨连分式降阶的机理，迕理论和实践屮都取得了若干进展。连分式降阶法还存在一些不足的方面：首先是不能保证降

6、阶模型的稳定性；其次是动态拟合精度较差；再次是在多变量系统降阶吋要求输入和输出同维。应当指出，到不久之前，上述几方面的不足得到了一定程度的克服。例如：采用Chen和Tsay的平方幅度连分式展开法，可以保证降阶模型的稳定性：把Cauer—I型与Cauer—II型结合起来，或直接用CauerII型、修正Ceuer型，可得动态拟合优度相当好的降阶模型；利用矩阵分块算法后，矩阵连分式法适用于任意输入、输出维数的多变量系统降阶。当然，连分式降阶法还有不少值得深入研究的课题，如：偏系数或偏商矩阵取多少才算合适？有无统一的准则？对降阶模型的稳定性宥什么影响

7、等。!1!Hutton等提出了一种混合型的连分式降阶法，其降阶模型的分母直接取决于原系统分母多项式的系数（或系数阵），而与分子多项式系数（或系数阵）无关。所以，只要原系统稳定，就能保证降阶模型也是稳定的。由于在计算展开式各系数（或系数阵）吋利用了Routh表，故得名为Routh逼近降阶法。在Routh逼近法中，所用连分式形式为汉-/?展开和展开，其收敛速度较快。有吋，也将Routh逼近法称为部分Pade法。Routh逼近法最初出现在频域，后来又发展成时域Routh逼近法。Shamash先把时域中的状态方程变换为等价的频域形式，然后分母用Rou

8、ht法，分子用Pade法进行降阶，最后再反变换到时域,得到降维的状态方程。因此，Shamash方法本质上是一种混合法。Routh逼近法计算过程比连分式法复杂，计算量