高三数学第一轮复习：空间几何体的表面积和体积（文）人教实验B版 知识精讲.doc

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1、高三数学第一轮复习：空间几何体的表面积和体积（文）人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用二.课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。三.命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化

2、为基本几何体的求积问题，会用体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2008年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；［教学过程］（一）基本知识要点回顾1.多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱ChS底·h棱锥棱锥各侧面面积之和S侧

3、+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h（S上底+S下底+）正棱台（c+c′）h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ（r1+r2）lS全2πr（l+r）Πr（l+r）π（r1+r2）l+π（r21+r22）4πR2Vπr2h（即πr2l）πr2hπh（r21+r1r2+r22）πR3用心爱心专心表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底半径，r1、r2分别表示圆

4、台上、下底面半径，R表示半径。【典型例题】例1.一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4（cm）。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考查。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2

5、.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。解：（1）如图，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由线面垂直得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵A

6、M=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面体的体积为。用心爱心专心点评：垂直问题的证明和柱体的体积公式的应用。例3.（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A.2B.3C.6D.解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。例4.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC

7、的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S，V1=h（S+S+）=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。例5.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB

8、=5。（如图所示）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥的体积VS－ABC。用心爱心专心解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC。（Ⅱ）解：在Rt△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB