2012年高考数学《数列》专题 数列求和学案.doc

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1、第5课时数列求和基础过关求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．2．等比数列的前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝．②当q≠1时，Sn＝．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．典型例题例1.已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．解：∵an＝1＋＋＋……＋＝∴an＝2－则原数列可以表示为：(2－1)，，，，…前n项和

2、Sn＝(2－1)＋＋＋…＋＝2n－＝2n－＝2n－2＝＋2n－2变式训练1.数列前n项的和为（）-4-A．B．C．D．答案:B。解析：例2.求Sn＝1＋＋＋…＋．解：∵an＝＝＝2(－)∴Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝变式训练2：数列{an}的通项公式是an＝，若前n项之和为10，则项数n为（）A．11B．99C．120D．121解：C.an＝＝，∴Sn＝，由＝10，∴＝11，∴n＝11例3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．解：取n＝1，则a1＝a1＝1又Sn＝可得：＝∵an≠－1(

3、n∈N*)∴an＝2n－1∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n①2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②①－②得：∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1－n)·2n＋2∴Tn＝6＋(n－1)·2n＋2变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.-4-⑴求数列{an}和{bn}通项公式．⑵设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn．解：（1）当n＝1时a1＝S1

4、＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴q＝，故bn＝b1qn－1＝（2）∵Cn＝＝∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n两式相减3Tn＝∴Tn＝．例4.求Sn＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！．解：an＝n·n!＝(n＋1)!－n!∴Sn＝(n＋1)!－1!＝(n＋1)!－1变式训练4.

5、以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．⑴求证：数列{bn}为等比数列．⑵设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．解：⑴由题意，an＋1＝2an＋k∴bn＝an＋1－an＝2an＋k－an＝an＋kbn＋1＝an＋1＋k＝2an＋2k＝2bn∵b1≠0，∴＝2∴{bn}是公比为2的等比数列．⑵由⑴知an＝bn－k∵bn＝b1·2n－1∴Tn＝Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(b1＋b2＋…＋b

6、n)－nk＝Tn－nk＝b1(2n－1)－nk∵∴解得：k＝8归纳小结-4-1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性．3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视．-4-