2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数.doc

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1、2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题02函数和反函数1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明

2、：＜＜．29难点2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．【答案】(1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]f(x)=g(2-

3、x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])292．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．29当>2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．难点3反函数与函数性质的综合1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈MR+函数值f(x)的集合为[0，2]且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(

4、x1)+f(x2)．(1)求证：∈M，而M；(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)．(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0，2])．【解析】由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合"，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．【答案】(1)证明：∵∈M，又=×,f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0，2]，∴∈M，2929【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互

5、相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是(　　)．29【变式】函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)．A．2B．4C．6D．8解析：令1－x＝t，则x＝1－t.29【易错点点睛】易错点1函数的定义域和值域1．(2013模拟题精选)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=(1)若函数f(

6、x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．【错误答案】(1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为292．(2013模拟题精选)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．293．(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N．求集合M，N；集合M∩N．M∪N.∴x≥3或x<1．∴N={x

7、x≥3或x<1}．29【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知

8、其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．【变式探究】1若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．(0，+∞)B．(0，2)C．(-∞，2)D．(-∞，0)答案：D解析：∵4-a2已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为()A．[-