高考数学易错点点睛与高考突破 专题 函数和反函数(解析版) word版含解析

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1、专题02函数和反函数【2015高考考纲解读】1.利用函数的性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题．2.考查函数的单调性与单调区间，以及复合函数的单调性．3.考查函数奇偶性的判断，常与单调性、周期性综合考查．4.求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程及不等式的综合应用．5.考查指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，考查指数函数、对数函数的求值，以及考查指数函数、对数函数、幂　函数的综合问题．6.在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求

2、导、函数单调性的讨论、函数极值或最值的求解．【难点突破】难点1借助函数单调性求函数最值或证明不等式1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：

3、f(x)=x．(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明：＜＜．难点2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．2．函数y=

4、f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．难点3反函数与函数性质的综合1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈MR+函数值f(x)的集合为[0，2]且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．(1)求证：∈M，而M；(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x

5、1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)．(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0，2])．2．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax(a＞0且a≠1).求证:f(2x)=2f(x)·g(x)设f(x)的反函数为f-1(x)，当a=-1时，试比较f-1[g(x)]与-1的大小，并证明你的结论．若a>1，n∈N*且n≥2，比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基

6、石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是(　　)．A.∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C.D.∪(2，＋∞)【变式】函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)．A．2B．4C．6D．8【易错点点睛】

7、易错点1函数的定义域和值域1．对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=(1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．2．记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．3．记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N．求（1）集合M，N；（2）集合M∩N．M∪N.(2)∴M∩N={x

8、

9、x>}∩{x

10、x≥3或x>1}={x

11、x≥3}．M∪N={x

12、x>}∪{x

13、x≥3或x>1}={x

14、x>或x<1}．4．若集合M={y

15、y=2-x}，P={y

16、y=}，则M∩P等于()A．{y

17、y＞1}B．{y

18、y≥1}C.{y

19、y>0}D．{y

20、y≥0}【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注