2011-12高数三(下)期末试题参考答案.doc

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1、2011-2012学年第二学期全校经管类等专业《高等数学三（下）》期末试卷一、基本题（共6个小题，每小题6分，共36分）1.设，求级数的部分和、和.2.设，求差分、.3.判断正项级数的敛散性.正项级数比值审敛法，，所以发散4.改变二次积分的积分次序.是型区域且型区域表示为，：+5.求微分方程满足条件的特解.分离变量得到两端积分得这就是原方程的通解由条件得到，故是满足条件的特解6.求差分方程的通解.原方程对应的齐次方程齐次方程的通解为因为，所以设特解，代入原方程对比系数可以得到因此原方程的通解为二、（共4个

2、小题，每小题9分，共36分）1.求过点且与直线垂直的平面方程.最主要是求出平面的法向量，即直线的方向向量，常用方法：直线通过两个已知平面，方向向量，，所以取所以平面方程为整理得2.设函数，其中具有连续一阶偏导数，求，，与.，，则+3.设，求，，与.4.设有A和B两种商品，其单价分别为10元和50元，某消费者消费单位商品和单位商品所获得的效用为，求该消费者在这两种商品的预算消费支出为2000元时所获得的最大效用，以及各商品的消费数量.已知条件，即目标函数：求目标函数在已知条件下的最大值问题，利用拉格朗日乘数

3、法：设求解方程组求解得到即当时，总效用达到最大。最大效用三、完成下列各题（共4个小题，共28分）1．（8分）设二重积分，其中（1）画出积分区域的图形，并将化为极坐标形式；（2）计算的值.=2．（8分）给定幂级数，试求（1）该幂级数的收敛半径、收敛区间；所以收敛半径收敛区间为（2）该幂级数的收敛域.当时，原幂级数即为，此级数是交错级数，由莱布尼兹判别法知此级数收敛当时，原幂级数即为，此级数是级数且，所以级数发散故幂级数的收敛域为3．（8分）给定二阶常系数线性非齐次方程，（1）写出方程对应的齐次方程，并求该齐

4、次方程的通解；齐次方程特征方程特征根为，故该齐次方程的通解为（2）参照下图提供的信息，求出方程的通解.所以原方程通解为4.（4分）设，且数列有界，证明级数收敛.证明：数列有界所以存在,对任意的，有，即，而级数当时收敛，所以级数收敛，由收敛级数的性质知收敛，根据正项级数的比较审敛法知收敛。