高考数学 解题“灵魂变奏曲”.doc

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1、数学解题的“灵魂变奏曲”把问题进行转化是解决问题的重要的方法，著名数学家、教育家G•波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……，我们必须一再地变换它，重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止”．我们在解决数学问题时，常把复杂、生疏、抽象、困难、未知的问题变成简单、熟悉、具体、容易、已知的问题来解决．这是一种思想方法，也是一种策略。它把一个数学问题转化为另一个数学问题，达到化生为熟，化繁为简的目的，不仅可以节省时间和精力，巧妙简捷地解题，还可以提高我们的思维水平，培养创新能力，及分析问题和解决问题的能力。下面例析问题转换几种基本途径及方法．一、等与不等的转化等与不等

2、的转化主要体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异间的内在联系。等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。例1：若正数满足，则的取值范围是______________【解法一】为正数，　　，　　　（舍去）或　　　　　　的取值范围为．【解法二】　　由得，　　且当且仅当，即时取等号则的范围为【点评】：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的一个重要方法。巩固练习题：已知x，y同为非负数，且满

3、足，求x，y的值。【例1】已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.13【解答】因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故【点评】将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.二、正与反的转化解决某些问题时，若按习惯从“正面进攻”难已解决或运算繁杂。此时可从相反的方向去探求，有可能会转化为我们较熟悉或简单的问题。2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很

4、难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。当一个数学问题从正面处理较难时，不妨从反面思考，如逆推法、分析法、反证法、补集法等都是重要的反面思维方法．例2已知抛物线y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交,求实数a的取值范围.分析：此题先从正面入手,要对各种可能性逐一分析,相当繁琐.若逆向思维求其反面：求三条抛物线都不与x轴相交时a的取值范围.再求其补集,则简洁得多.解：先求结论的反面，都无交点，即，解得－＜a＜－1．故所求a的取值范围是a≤－或a≥－1．例2：（2005年高考全国卷）在由数字0，1，2，3，4，

5、5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的共有__________个。【分析】：以前我们做过能被5整除的排列组合题，先按照以前做过的方法求出能被5整除的数的个数，再求出所有的四位数的个数，就能求出符合条件的数的个数。解：有0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的所有四位数共有个，其中能被5整除的，即个位数为0，5的数有个，所以不能被5整除的数有600—216=384个。【点评】此题从正面入手也行，但把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，做起来更加得心应手。另外，在考试时用正反两种方法，可以提高准确率。巩固练习题：若曲线的所有弦都不能被直线垂直平分，求变量m的取值范围。　例2试求常数m的范围，使

6、曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称问题转化为13“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围”．再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．解：抛物线上两点(x1，)、(x2，)关于直线y＝m(x－3)对称，满足，即，消去x2，得．∵x1∈R，∴△＝＞0，∴(2m＋1)(6m2－2m＋1)＜0，∴m＜－．即当m＜－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．而原题要求所有弦都不能被直线垂直一部分，那么所求m的范围为m≥－．很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,

7、致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。A、150B、147C、144D、141分析：本题