高考数学 不等式的证明(二)新人教版知识精讲.doc

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1、不等式的证明(二)【知识点精讲】1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

2、用函数单调性，构造图形用数形结合方法。【例题选讲】例1求证练习1：若(n∈N*).用心爱心专心求证：证明：∵∴用心爱心专心练习2：若(n∈N*).求证：用心爱心专心证明：．n≥2时，由（Ⅰ）知．故用心爱心专心综上，原不等式成立．3．求证：4．5．用心爱心专心3.放缩法：4．放缩法：用心爱心专心5．5.放缩法：左边6.若a,b,c,dÎR+，求证：6.证明：（用放缩法）记m=∵a,b,c,dÎR+∴用心爱心专心∴1

3、1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于证明：（用反证法）设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘：(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a>①用心爱心专心又∵00，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证明：（用反证法）设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c>-a>0∴ab+bc+ca=

4、a(b+c)+bc<0此与题设矛盾又若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证b>0,c>0例3、已知，求证：中用心爱心专心至少有一个不小于。【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设都小于，则，而，相互矛盾用心爱心专心∴中至少有一个不小于。[思维点拔]用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须

5、是明显的。例4、（1）设，且，求证：；【证明】（1）设则，=。用心爱心专心（2）设，且，求证：（2）设，∵，∴。于是。[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为用心爱心专心或或等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例5、.已知，求证：都属于。【证明】由已知得：，代入中得：∵，∴△≥0，即用心爱心专心解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。变式：设，且，求证：因为，而所以，所以a，b为方程（1）的二实根用心爱心专心而，

6、故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，则解得。4．若a>b>c,则放缩法：用心爱心专心[思维点拔]在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体

7、置换策略3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B