高二数学不等式的证明知识精讲2 人教版

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1、高二数学不等式的证明知识精讲人教版一.本周教学内容：不等式的证明第五章“不等式”§5.3不等式的证明——综合法、分析法、放缩法以及均值不等式的应用。二.重点、难点：本周的学习重点是不等式的证明，我们将学习几种新的证明不等式的基本方法，这几种证明方法是综合法、分析法、放缩法。下面介绍每种证明方法的基本思想，并阐明在应用这些方法时应注意的问题。1.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如§5.3中的定理1、定理2以及它们的推论），从已知条件出发，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法称为综合法。综合法的思维

2、特征是“由因导果”，即从已知逐步导向结论，其证明根据是不等式的性质，以及§5.3中的定理、推论。对这两个定理及推论，表述如下：定理1：定理2：推论1：推论2：（1）需要注意的是，在使用上述定理、推论时，要弄清不等式成立的条件，切勿形式地套用。另外，要特别注意每个不等式中等号成立的条件，应用时要检查等号能否成立，何时成立。此外，还要掌握以上定理、推论的形式上的等价变化。例如，定理1还可表述明了“算术平均数不小于几何平均数”（此结论可推广为n个正数的情形）。推论1是两个正数的和与它们的积互相转化的桥梁，证明时常依此作为论

3、证的出发点，另外，在研究某些函数的最值时，也经常利用推论1。2.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立需具备的条件，依此往前溯源，这样，就把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法就叫做“分析法”。（1）分析法的思维特征是“执果索因”，即从结论寻求条件，逐步向已知事实定理或已知条件靠拢。（2）分析法的实质是一种寻找证明途径的思维过程，在使用分析法时，其格式是“要证明……成立，只需证明……成立，又只需证明……成立，……”，也就是说，

4、后一步的成立是前一步成立的充分条件。若省略“只需证明”，则意味着前一步的成立能保证后一步成立，最终只能表明从“结论”一步步推出了“条件”，这与原题的证明要求恰好背道而驰。（3）事实上，通常的数学证明是用综合法的方式来表述的，因为这种方法条理清晰，根据充分，以步步为营的方式取得了逻辑推理上的胜利。但分析法有其优点，即它便于寻找证明思路，方向明确，易于掌握。在证明时，这两种方法可互为补充，不妨先由分析法确定证明的出发点，进而用综合法表述。3.放缩法：要证明不等式A

5、即A舍去或添加一些项。小了。<2>把分子（分母）放大（或缩小）。N且k>1)。（2）在使用放缩法时，注意放缩尺度要适度，过大或过小都不能达到证题的目的。注：（1）证明方法有多种，在实际运用时，要视所求证的不等式的特点加以选择，忌生搬硬套。（2）有时在证明一个不等式的时候，往往不只仅用一种证明方法，而在证明不同阶段，选用不同的证明方法，以达到简捷明了之目的。（3）在实践中多体会、多总结，增加证题的经

6、验。【典型例题】例1.已知a,b,c是不全相等的正数。分析：式。证明：注意到a,b,c不全相等，可知以上三个不等式至少有一个不能取“=”号例2.分析：不等式左式含有三项乘积的形式，右式的“8”=2×2×2，使我们联想到定证明：由同向不等式相乘法则，得注：受本例证法的启发，你能否解决如下问题？例3.分析：联想到如下结论（见课本P9——例3），该结论也适用于3个正数，：证明：注：在研究函数最值时，常用均值不等式：。但函数解析式往往不具备直接利用均值不等式的条件，因此常需将解析式变形，使之具备使用均值不等式求最值的条件（或

7、积为常数，或和为常数）。例4.已知0

8、价，故只需表示出该桶的底面积、侧面积，即可表示出做桶的成本。解：设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，成本为y元例6.分析：此不等式若用比较法或综合法似乎难以入手，不妨考虑分析法，即从结论开始，利用不等式的性质，寻找使之成立的充分条件。证明：例7.证明：注：本例采用了放大法，导出了求证的不等式，其中的变形称为裂项，其目的是为下一步的求和化简做准