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时间:2018-12-17
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1、高二数学不等式的证明知识精讲人教版一.本周教学内容:不等式的证明第五章“不等式”§5.3不等式的证明——综合法、分析法、放缩法以及均值不等式的应用。二.重点、难点:本周的学习重点是不等式的证明,我们将学习几种新的证明不等式的基本方法,这几种证明方法是综合法、分析法、放缩法。下面介绍每种证明方法的基本思想,并阐明在应用这些方法时应注意的问题。1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(如§5.3中的定理1、定理2以及它们的推论),从已知条件出发,再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式,这种证明方法称为综合法。综合法的思维
2、特征是“由因导果”,即从已知逐步导向结论,其证明根据是不等式的性质,以及§5.3中的定理、推论。对这两个定理及推论,表述如下:定理1:定理2:推论1:推论2:(1)需要注意的是,在使用上述定理、推论时,要弄清不等式成立的条件,切勿形式地套用。另外,要特别注意每个不等式中等号成立的条件,应用时要检查等号能否成立,何时成立。此外,还要掌握以上定理、推论的形式上的等价变化。例如,定理1还可表述明了“算术平均数不小于几何平均数”(此结论可推广为n个正数的情形)。推论1是两个正数的和与它们的积互相转化的桥梁,证明时常依此作为论
3、证的出发点,另外,在研究某些函数的最值时,也经常利用推论1。2.分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立需具备的条件,依此往前溯源,这样,就把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法就叫做“分析法”。(1)分析法的思维特征是“执果索因”,即从结论寻求条件,逐步向已知事实定理或已知条件靠拢。(2)分析法的实质是一种寻找证明途径的思维过程,在使用分析法时,其格式是“要证明……成立,只需证明……成立,又只需证明……成立,……”,也就是说,
4、后一步的成立是前一步成立的充分条件。若省略“只需证明”,则意味着前一步的成立能保证后一步成立,最终只能表明从“结论”一步步推出了“条件”,这与原题的证明要求恰好背道而驰。(3)事实上,通常的数学证明是用综合法的方式来表述的,因为这种方法条理清晰,根据充分,以步步为营的方式取得了逻辑推理上的胜利。但分析法有其优点,即它便于寻找证明思路,方向明确,易于掌握。在证明时,这两种方法可互为补充,不妨先由分析法确定证明的出发点,进而用综合法表述。3.放缩法:要证明不等式A
5、即A舍去或添加一些项。小了。<2>把分子(分母)放大(或缩小)。N且k>1)。(2)在使用放缩法时,注意放缩尺度要适度,过大或过小都不能达到证题的目的。注:(1)证明方法有多种,在实际运用时,要视所求证的不等式的特点加以选择,忌生搬硬套。(2)有时在证明一个不等式的时候,往往不只仅用一种证明方法,而在证明不同阶段,选用不同的证明方法,以达到简捷明了之目的。(3)在实践中多体会、多总结,增加证题的经
6、验。【典型例题】例1.已知a,b,c是不全相等的正数。分析:式。证明:注意到a,b,c不全相等,可知以上三个不等式至少有一个不能取“=”号例2.分析:不等式左式含有三项乘积的形式,右式的“8”=2×2×2,使我们联想到定证明:由同向不等式相乘法则,得注:受本例证法的启发,你能否解决如下问题?例3.分析:联想到如下结论(见课本P9——例3),该结论也适用于3个正数,:证明:注:在研究函数最值时,常用均值不等式:。但函数解析式往往不具备直接利用均值不等式的条件,因此常需将解析式变形,使之具备使用均值不等式求最值的条件(或
7、积为常数,或和为常数)。例4.已知08、价,故只需表示出该桶的底面积、侧面积,即可表示出做桶的成本。解:设圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,成本为y元例6.分析:此不等式若用比较法或综合法似乎难以入手,不妨考虑分析法,即从结论开始,利用不等式的性质,寻找使之成立的充分条件。证明:例7.证明:注:本例采用了放大法,导出了求证的不等式,其中的变形称为裂项,其目的是为下一步的求和化简做准
8、价,故只需表示出该桶的底面积、侧面积,即可表示出做桶的成本。解:设圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,成本为y元例6.分析:此不等式若用比较法或综合法似乎难以入手,不妨考虑分析法,即从结论开始,利用不等式的性质,寻找使之成立的充分条件。证明:例7.证明:注:本例采用了放大法,导出了求证的不等式,其中的变形称为裂项,其目的是为下一步的求和化简做准
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