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《常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：2１．(3x−1)dx+(2x+1)dy=02解：P(x,y)=3x−1，Q(x,y)=2x+1，∂P∂Q∂P∂Q则=0，=2，所以≠即，原方程不是恰当方程．∂y∂x∂y∂x２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0解：P(x,y)=x+2y,Q(x,y)=2x−y,∂P∂Q∂P∂Q则=2,=2,所以=，即原方程为恰当方程∂y∂x∂y∂x则xdx+(2ydx+2xdy)−ydy=0,22xy两边积分得：+2xy−=C.223．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0(a,b和c为常数)．解：P(x,y)=ax+
2、by,Q(x,y)=bx+cy,∂P∂Q∂P∂Q则=b,=b,所以=，即原方程为恰当方程∂y∂x∂y∂x则axdx+++=（bydxbxdy）cydy0,22axcy两边积分得：+bxy+=C.224．(ax−by)dx+(bx−cy)dy=0(b≠0)解：P(x,y)=ax−by,Q(x,y)=bx−cy,∂P∂Q∂P∂Q则=−b,=b,因为b≠0,所以≠，即，原方程不为恰当方程∂y∂x∂y∂x2５．(t+1)cosudu+2tsinudt=02解：P(t,u)=(t+1)cosu,Q(t,u)=2tsinu∂P∂Q∂P∂Q则=2tcosu,=2tcosu,所以=，即
3、原方程为恰当方程∂t∂x∂y∂x2则(tcosudu+2tsinudt)+cosudu=0,2两边积分得：(t+1)sinu=C.xx2x６．(ye+2e+y)dx+(e+2xy)dy=0xx2x解：P(x,y=ye+2e+y,Q(x,y)=e+2xy，∂Px∂Qx∂P∂Q则=e+2y,=e+2y,所以=，即原方程为恰当方程∂y∂x∂y∂xxx2x则2edx+[(ye+y)dx+(e+2xy)dy]=0,x2两边积分得：(2+y)e+xy=C.y2７．(+x)dx+(lnx−2y)dy=0xy2解：P(x,y)=+xQ(x,y)=lnx−2y,x∂P1∂Q1∂P∂Q则=
4、,=,所以=，即原方程为恰当方程∂yx∂xx∂y∂xy2则(dx+lnxdy)+xdx−2ydy=0x3x2两边积分得：+ylnx−y=C.322８．(ax+by)dx+cxydy=0(a,b和c为常数)22解：P(x,y)=ax+by,Q(x,y)=cxy,∂P∂Q∂P∂Q则=2by,=cy,所以当=，即2b=c时，原方程为恰当方程∂y∂x∂y∂x22则axdx+(bydx+cxydy)=03ax2两边积分得：+bxy=C.3而当2b≠c时原方程不是恰当方程．22s−1s−s９．ds+dt=02tt22s−1s−s解：P(t,s)=,Q(t,s)=,2tt∂P1−2s
5、∂Q1−2s∂P∂Q则=,=,所以=，即原方程为恰当方程,22∂tt∂st∂y∂x2s−s两边积分得：=C．t222210．xf(x+y)dx+yf(x+y)dy=0,其中f(⋅)是连续的可微函数．2222解：P(x,y)=xf(x+y),Q(x,y)=yf(x+y),∂P∂Q∂P∂Q则=2xyf′,=2xyf′,所以=，即原方程为恰当方程,∂y∂x∂y∂x22两边积分得：∫fx()+=ydxC,22即原方程的解为F(x+y)=C(其中F为f的原积分)．习题2-21.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：2dyx(１)=dxy2解：原方程即为：ydy
6、=xdx23两边积分得：3y−2x=C,y≠0．2dyx(２)=3dxy(1+x)2x解：原方程即为：ydy=dx31+x23两边积分得：3y−2ln1+x=C,y≠0,x≠−1．dy2(３)+ysinx=0dx解：当y≠0时dy原方程为：+sinxdx=02y两边积分得：1+(c+cosx)y=0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c+cosx)y=0．dy22(４)=1+x+y+xy；dxdy解：原方程即为：=(1+xdx)21+y2x两边积分得：arctgy=x++c，22x即y=tg(x++c)．2dy2５)=(cosxcos2y)dx解：
7、①当cos2y≠0时dy2原方程即为：=(cosx)dx2(cos2y)两边积分得：22tgy−−2x2sin2x=c．kππ②cos2y=0，即y=+也是方程的解.(k∈N)24dy2(６)x=1−ydx解：①当y≠±1时dydx原方程即为：=1−y2x两边积分得：arcsiny−lnx=c．②y=±1也是方程的解.−xdyx−e(７)．=ydxy+ey−x解．原方程即为：(y+e)dy=(x−e)dx22yyx−x两边积分得：+e=+e+c，2222y−x原方程的解为：y−x+2(e−e)=c.2.解下列微分方程的初值问题．ππ(１)
