常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_2new

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1、常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题4-11．求解下列微分方程22dy1）2y=p+4px+2x(p=)dxdp解利用微分法得(2x+p)(+1)=0dxdp当+=10时，得pxc=−+dx从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解222y=++p42pxxpxc=−+或消参数P，得通解122y=(c+2cx−x)22当20xp+=时，则消去P，得特解y=−x2dy2）y=pxlnx+()xp；p=dxdp解利用微分法得(lnx+2)xpx+=p0

2、dxdp当x+p=0时，得px=cdx从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：2y=pxln+()xp2或消p得通解y=ClnxC+px=c12当lnx+=20xp时，消去p得特解y=−()lnx42dy3）y=x(p+1+p)p=cx解利用微分法，得2p+1+pdx=−两边积分得21+px(22)1+P+P1+Px=c由此得原方程以P为参数形式的通解：-1-常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2222y=x(p+1+p，(1+p+p1+p)x=c.或消去P

3、得通解222y+(X−C)=C2.用参数法求解下列微分方程22dy1）2y+5=4dxdy2ydx2dy2解将方程化为+=1令yt=2sin=cost24dx551515由此可推出dx=dy=d(2sin)t=dt从而得22cost2cost55x=t+c25因此方程的通解为x=tc+，yt=2sin2消去参数t，得通解2y=2sin(xC−)5dy对于方程除了上述通解，还有y=±2，=0，显然dxy=2和y=−2是方程的两个解。22dy2）x−=3()1dxdy1解：令x=cs

4、cu，=−cotudx32u11+t又令tan=t则x==2sinu2t2121cosudy=cotu=du333sinu-2-常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案221−t1221+t=3dt32t1+t221+t121=(t−+)dt343tt1121积分得，y=(ttc−−+2ln)24322t112=(ttC−−+4ln)283t由此得微分方程的通解为21+t112x=，yttc=(−−+4ln)22t83t3dy3dy3）x+()=4dxd

5、xdy3332解：令=xt则x+xt=4xtdx4t解得x=又31+t2323dydydx4t4(1−2t)16t(1−2t)=•=•=33233dtdxdt1+t(1+t)(1+t)316(1−2t6)33161−2u=dtu=tdu3333(1+t)3(1+u)du32du=16−332(1+u)3(1+u8321∴=−yC++22(1++uu)318321∴=−++C323(1++tt)31由此得微分方程的通解为-3-常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案4t8321x=，

6、yC=−++。33231+t(1++tt)31-4-常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题4-21．得用P—判别式求下列方程的奇解：dydy21）y=x+()dxdx解：方程的P—判别式为2y=++=xppx,20p2消去p，得xy=−42经验证可知xy=−是方程的解。4222'xx"xx令F(x,y,p)=y−xp−p则有Fx(,−−=,)1，Fx(,−−=,)−2ypp42422'xx和Fx(,−−=,)0p4212因此，由定理4.2可知，y=−x是方程的奇解。4dydy

7、22）y=2x+()dxdx解：方程的P—判别式为2y=2xp+p，x+p=0222消去P，得y=−x，而y=−x不是方程的解，故y=−x不是方程的奇解。2dy243）(y−1)()=ydxq解：方程的P—判别式为2242(y−1)p=，2(y−1)p=09消去P，得y=0，显然y=0是方程的解，224令F(x,y,p)=(y−1)p−y则有9'4"Fx(,0,0)=−Fx(,0,0)2=ypp9'和Fx(,0,0)0=p因此，由定理4.2知，y=0是方程的奇解。-5-常微分方程教程（第二版）-丁同仁等

8、编-高等教育出版社-参考答案''"'2．举例说明，在定理4.2的条件Fxxxxx(,(),())≠0Fxxxxx(,(),())≠0中的两个不等ypp式是缺一不可的，dy22解：考虑方程()−y=0dx方程（1）的P—判别式为22p−y=02p=0消去P，得y=x(x)=022''令F(x,y,p)=p−y，于是有Fxyp(,,)=−2yFxyp(,,)=−2ppp""'Fxyp(,,)2=因此虽然有Fxyp(,,)20=≠和Fx(,0,0