常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_5new

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1、2008-12-14习题6—32⎧x当x≥0⎧0当x≥01．证明函数组ϕ1(x)=⎨，ϕ2()x=⎨2，在区间(−∞,+∞)上⎩0当x<0⎩xx当<0线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。这与本节的定理6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？2证设有cxcϕ()+≡ϕ0−∞

2、)=≡0，当x<0时，w(x)=≡02x002x故当−∞

3、有w[]ϕ(x),ψ(x)=w(x)ex0=w(x)（常数）00x（2）由于y=e是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线x1∫−odx1−xx−x性无关的特解y=e⋅edx=−e，故方程的通解为y=ce+ce2∫2x12e2xxx又由于y=e是方程的解，故有eqxe+()≡0，所以qx()=−1。4.（1）见课本291页的Lemma9.1；（2）见课后答案'''5．设函数u(x)和v(x)是方程ypxyqxy+()+=()0（6.76）的一个基本解组，12008-12-14试证：（1）方程的系数函数p(x)和q(x)能由这个基本解组唯一地确定；（2）ux()和v(x)

4、没有共同的零点。证：（1）由于u(x)、v(x)是方程（6.76）的一个基本解组，故有'''⎧upxuqx()+()=−uuu'⎨，且=−wuxvx[().()]0≠，故有'''⎩vpxvqx()+()=−vvv'−u''uuu''−'−v''vu''v−uv''vv''−''uvuv''''''−p(x)==，qx()==u'uw[u(x).v(x)]uu'wuxvx[().()]v'vvv'因此pxqx(),()能够由基本解组u(x),v(x)惟一地确定。（2）（反证法）若不然，u(x)和v(x)有共同的零点，设为x，则wuxvx((),())0=，000所以u(x)，v(x

5、)线性相关，这与u(x)，v(x)为齐次线性方程（6.76）的一个基本解组矛盾。故得证。n(n)n−1(n−)17．设欧拉方程xy+axy+L+ay=0（1）1n其中a,a,L,a都是常数，x>0。试利用适当的变换把它化成常系数的齐次线12n性微分方程。t解作自变量变换x=e，则tx=lnkkk−1dydydt−tdydy−kt⎛dydydy⎞直接计算可得=⋅=e，=++e⎜ββL+⎟kk11k−1k−dxdtdxdtdx⎝dtdtdt⎠kkk−1kdydydydy其中β,β,Lβ都是常数，于是x=+β+L+β。将上述12k−1kk1k−1k−1dxdtdtdt结果代人方程（1）

6、，就得到常系数齐次线性方程nn−1dydydy++bbL++by=0nn11−1nn−dtdtdt其中b,b,Lb是常数12n8、求解有阻尼的弹簧振动方程22008-12-142dxdxm+γ+kx=0（1）2dtdt2其中m,γ和中都是正的常数，并就Δ=r−4mk大于，等于和小于零的不同情况，说明相应解的物理意义。2解：特征方程为mλ+γλ+k=022−r+r−4km−r+r−4km特征根：λ=，λ=122m2m2记Δ=γ−4mk，下面由判别式Δ分三种情况讨论：1）当Δ>0时，这时，特征根λ<λ<0,的方程（1）的通解为21x=+ceλ1tceλ2t（2）12lim由（2）可看

7、出，方程（1）的任何解x=x(t)都满足xt()0=。t→+∞而且当c≠,0c=0（或c=,0c≠0）时，有x(t)≠0。1212而当c≠,0c≠0时，由（2）令ceλλ12tt+ce=0（3）12121⎛⎞−c1若c与c同号，显然（3）式不能成立。若c与c异号，则有t=ln⎜⎟1212λλ−⎝⎠c212故方程(1)的一切非零解最多只有一个零点,这相当于弹簧振子最多只能一次经过静止点。因此由以上讨论说明，当阻尼很大，即γ很大时，弹簧的运动不是周期的，且不具有振动的性质。2）当Δ<