高二数学直接证明与间接证明（文）人教实验版（A）知识精讲.doc

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1、高二数学直接证明与间接证明（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直接证明与间接证明二.重点、难点：1.综合法：利用已知条件和某些数学定义，定理公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把到证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理）。3.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。【典型例题】[例1]已知是不全相等的正数，求证：证明：∵∴①同理

2、②同理③∵是不全相等的正数∴，三式中不能全取“=”号∴①②③三式相加[例2]求证证明：∵，，要证只需证，即证即，即证∵显然成立∴[例3]设，且，试证证法1：，这显然成立用心爱心专心∴证法2：∴[例4]如图AB为⊙O的直径，⊙O在平面内，SA⊥平面，∠SBA=30°，动点P在圆O上移动（不重合于A、B两点），以N和M表示点A在SP、SB上的射影，∠BAP=，∠AMN=。求证：（1）△SPB是直角三角形，（2）AN⊥平面SPB。证明：（1）（2）[例5]已知：，求证：证：∴∴[例6]用适当方法证明：已知：，求证：证明：（用综合法）∵用心爱心专心∴[例7]用

3、反证法证明，若，则。证明：假设不大于，则或∵∴与或这些都与已知相矛盾，则[例8]已知函数，请用反证法证明没有负数根。证法1：设存在，满足，则又，所以，即与假设矛盾故方程没有负数根证法2：设存在，满足（1）若，则，，所以与矛盾（2），则，，所以与矛盾故方程没有负数根。用心爱心专心[例9]证明是无理数。证明：假设不是无理数，则是有理数设，其中为互质的正整数，两边平方：则是5的倍数，则也是5的倍数，令为正整数，则则所以2是5的倍数，同样也是5的倍数那么这与为互质的正整数相矛盾，所以是无理数。[例10]已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不

4、是直径。求证：弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形所以∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD因为ABCD是圆内接四边形，所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CAD+∠CBD=180°因此∠ACB=90°，∠CAD=90°所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分[例11]已知且，求证：证明：（1）当且仅当时等号成立∴不等式成立[例12]已知函数是（－∞，+∞）上的增函数，。（1）证明命题：若，则；（2）

5、判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。证明：（1）用心爱心专心又两式相加，得（2）假设，那么这与已知矛盾，故只有成立，因此逆命题成立。[例13]已知。（1）求证：；（2）求证：中至少有一个不小于。解析：（1）（2）假设中至少有一个不小于不成立，则都小于，则，而，这与相矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即中至少有一个不小于。【模拟试题】1.下列证明方法中属“间接证法”的是（）A.综合法B.分析法C.反证法D.数学归纳法2.用反证法证明：“”应假设（）A.B.C.D.3.有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（）A.由已知出发推出与假设矛盾B

6、.由假设出发推出与已知矛盾C.由已知和假设出发推出矛盾D.以上说法都不对4.实数不全为0的条件是（）A.均不为0B.中至少有一个为0C.至多有一个为0D.至少有一个不为05.反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°用心爱心专心6.已知，若为异面直线，则（）A.都与相交B.中至少一条与相交C.中至多有一条与相交D.都与相交7.设为正数，则的最小值为（）A.6B.9C.12D.158.已知，关于的取值范围

7、的说法正确的是（）A.一定不大于2B.一定不大于C.一定不小于D.一定不小于29.数列满足，，设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.10.已知是各项均为正数的等比数列，且公比，则与的大小关系（）A.B.C.D.不确定11.已知集合，集合。若，则实数。12.已知实数，有最小值－1，则。13.证明函数的值恒为正数。14.已知，求证：。15.的三个内角A、B、C成等差数列。求证：。16.已知数列满足。（1）求；（2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式。用心爱心专心17.已知函数对任意实数都有，并且当时，。（1）求证：是R上的增函数；（2）若，解不

8、等式。用心爱心专心【试题答案】1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.A9.A10.A1