机械系统动力学期末作业.doc

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1、用拉格朗日方程推导单自由度的系统动力学方程拉格朗日方程在理论力学课程中已经介绍过，所以推导直接给出该方程如下：ddt∂Ek∂qi-∂Ek∂qi+∂Ep∂qi=Fii=1,2,…n(1)式中：Ek——系统的动能；Ep——系统的势能；qi——广义坐标，它可以完全确定机械系统运动的一组独立参数；Fi——广义力，当广义坐标为一角位移时Fi为一个力矩，当广义坐标为一线位移时Fi为一力；n——系统的广义坐标。单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件作回转运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。整个系统的能量和机械功均可表示为这个坐标的函数。1.系统的动

2、能设机械系统中的第i个构件作一般平面运动，其动能Eki表示为Eki=12mivsi2+12Jsiwi2(2)式中：mi——构件i的质量；Jsi——构件i相对于其质心的转动惯量；vsi——构件i质心的速度；wi——构件i的角速度。作平动的构件的功能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动的构件则只含第二项。机械系统全部构件的动能总和为：Ek=i=1lEki=i=1l(12mivsi2+12Jsiwi2)(3)式中l为活动构件总数。动能也可以表示为：Ek=12Jeq2(4)式中：11Je=i=1lmivsiq2+Jsiwiq2(5)Je称为系统的等效转动惯量。这里分析的是广义

3、坐标q的变化规律因此q（称为广义速度）是随时间变化的。2.系统的势能对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情况下，由构件的重量产生的势能与动能相比数值也很小，因此拉格朗日方程中的势能常常略去。3.系统的广义力设Fk（k=1,2，…，m）和Mj（j=1,2，…，n）分别为作用于机械上的外力和外力距，则这些力和力矩的功率为：P=k=1mFkUkcosαk+j=1n±Mjwj(6)式中：wj——有外力距Mj作用的构件的角速度;vk——外力Fk作用点的速度；αk——Fk与vk夹角。式中第二项符号的确定方法为：当Mj与wj同向时取正号，反向取负号。广义力的定义就是

4、作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中全部力和力矩在同一时间内所作的功。因此，当广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可以按下式计算：F=Me=k=1mFkUkcosαkq+j=1n±Mjwjq(7)按照拉格朗日方程中的要求，将(4)表达的功能求导数得：∂Ek∂q=12∂Je∂qq2(8)∂Ek∂q=Jeq(9)11ddt∂Ek∂q=Jeq+∂Je∂qq2(10)将式7、式8和式10代入拉格朗日方程(1)可得到：Jeq+12∂Je∂qq2=Me(11)这就是单自由度机械系统的动力学方程。111.机械系统动力学简介机械动力学作为机械原理的重要

5、组成部分，主要研究机械在运转过程中的受力，机械中各部分构件的质量和构件之间机械运动的相互关系，是现代机械设计的重要理论基础。一般来说，机械动力学的研究内容包括六个方面：（1）在已知外力作用下求机械系统的真实运动规律；（2）分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力；（3）研究回转构件和机构平衡的理论和方法；（4）研究机械运转过程中能量的平衡和分配关系；（5）机械振动的分析研究；（6）机构分析和机构综合。其主要研究方向是机械在力的作用下的运动和机械在运动过程中产生的力，并且从力和相互作用的角度对机械进行设计和改进的学科。2.机械系统动力学的前期发展人类的发展过程中，很重要

6、的一个进步特征就是工具的使用和制造。从石器时代的各种石制工具开始，机械的形式开始发展起来。从简单的工具形式，到包含各类零件、部件的较为先进的机械，这中间的发展过程经历了不断的改进与反复，也经历了在国家内部与国家之间的传播过程。机械的发展过程也经历了从人自身的体力，到利用畜力、风力和水力等，材料的类型也从自然中自有的，过渡到简单的人造材料。整个发展过程最终形成了包含动力、传动和工作等部分的完整机械。人类从石器时代进入青铜时代、铁器时代，用以吹旺炉火的鼓风器的发展起了重要作用。有足够强大的鼓风器，才能使冶金炉获得足够高的炉温，才能从矿石中炼得金属。中国在公元前1000～前

7、900年就已有了冶铸用的鼓风器，并渐从人力鼓风发展到畜力和水力鼓风。11早在公元前，中国已在指南车上应用复杂的齿轮系统。古希腊已有圆柱齿轮、圆锥齿轮和蜗杆传动的记载。但是，关于齿轮传动瞬时速比与齿形的关系和齿形曲线的选择，直到17世纪之后方有理论阐述。手摇把和踏板机构是曲柄连杆机构的先驱，在各文明古国都有悠久历史，但是曲柄连杆机构的形式、运动和动力的确切分析和综合，则是近代机构学的成就。近代的机械动力学，在动力以及机械结构本身来说，具有各方面的重大突破。动力在整个生产过程中占据关键地位。随着机械的改进，对于金属和矿石的需求量增加，人类开始在原有的人力