双曲线的方程与性质全面版.doc

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1、双曲线的方程与性质【基础必背】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形3.双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A

2、1A2叫作双曲线的实轴，它的长

3、A1A2

4、＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长

5、B1B2

6、＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)4.直线与双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．【精彩一问】若方程表

7、示双曲线，则实数的取值范围是_______A．B．C．D．或提示：当方程表示焦点在轴上的双曲线时，则解得；当方程表示焦点在轴上的双曲线时，则解得．综上，．【典型例题】1．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：曲线中，焦点为，曲线中，渐近线为，所以所求双曲线中双曲线方程为考点：双曲线方程及性质2．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A考点：双曲线的简单性质3．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率为,则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】试题

8、分析：抛物线的焦点为，因此双曲线中有，又，因此方程为考点：双曲线方程即性质4．过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算5．已知双曲线与轴交于两点，点，则面积的最大值为（）（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】试题分析：由题意两点为，因此，当且仅当，即时等号成立．故最大值为2，选B．考点：三角形面积公式、基本不等式.6．已知双曲线C：的一条渐近线过点（一1，2），则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A

9、【解析】试题分析：∵点在直线上，∴，，故选A．考点：双曲线的离心率．7．设双曲线（）的半焦距为，为直线上两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．或2C．2或D．2【答案】A考点：双曲线的简单性质.8．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：双曲线的渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，所以，即，所以双曲线离心率，故选C.考点：1.直线与圆的位置关系；2.双曲线的离心率.9．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：

10、设，根据抛物线的焦半径公式：，所以，，考点：1．双曲线方程和性质；2．抛物线的定义．名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题．【名师指南】Z.X.X.K]1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值

11、为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用.3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．4．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.5．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.6．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线