双曲线方程及几何性质 教案.doc

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1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点1.双曲线的定义.2.双曲线的标准方程.3.双曲线的简单几何性质.教学目标1.掌握双曲线的定义，标准方程.2.掌握双曲线的几何性质.3.体会解析几何的思想，熟悉利用代数方法研究几何问题的手段教学重点双曲线定义、标准方程及几何性质；利用性质解决一些问题.教学难点双曲线定义、标准方程及几何性质的灵活应用.双曲线方程及几何性质教案教学过程一、导入1、情境引入类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的

2、点的轨迹是什么呢？设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节.2、步步深化类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆.二、知识讲解考点1双曲线的定义平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线.即.【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支.教师讲完定义后，可顺带

3、引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量.考点2双曲线的标准方程与几何性质标准方程图　形性　　质范　围或或对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点，，渐近线离心率，，其中准线实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系注意：(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.求

4、双曲线离心率、渐近线问题的一般方法：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k＝±＝±＝±＝±.考点3等轴双曲线考点3等轴双曲线1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线.2.共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和.性质：①它们有相

5、同的渐近线.②它们的四个焦点共圆.③离心率满足.三、例题精析三、例题精析例题1类型一双曲线的定义与标准方程例题1若k∈R，则k>3是方程表示双曲线的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】　A【解析】　若k>3，则方程，表示双曲线；若方程表示双曲线，则或解得k>3或k<－3.故选A.【教学建议】引导学生思考本题左边为加号时的情形.例题2例题2【总结与反思】本题考查双曲线的定义，是双曲线的充要条件是m、n异号．已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.【解析】　由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以设它

6、的标准方程为所求双曲线标准方程为.【总结与反思】此题考查双曲线定义，点到两定点的距离之差为定值的点可能为双曲线，比较定点距离与距离之差的大小，写出标准方程.例题3例题3已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)A.B.C.D.【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0，所以c＝5.故由c2＝a2＋b2，得25＝a2＋4a2，则a2＝5，b2＝20，从而双曲线方程为.【答案】A【总结与反思】本题考查利用双曲线的几何性质求标准

7、方程，属简单题，明白渐近线与双曲线标准方程的关系即可作答.例题1类型二双曲线的几何性质例题1已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【解析】∵，∴C的渐近线方程为y＝±x.故选C.【答案】　C【总结与反思】本题考查双曲线的离心率与标准方程的关系、双曲线渐近线.离心率与渐近线斜率都与a、b、c之间的比值有关，所以求解