《选修11：双曲线的标准方程和几何性质》教案.doc

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1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点双曲线的标准方程和几何性质教学目标1．掌握双曲线的标准方程和几何性质．(重点)教学重点2．双曲线的渐近线和离心率的求法．(难点)教学难点3．椭圆与双曲线几何性质的比较．(易混点)《选修11：双曲线的标准方程和几何性质》教案本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程，字母的意义和关系式，方程的特点。【知识导图】教学过程一、导入教材整理　双曲线的标准方程阅读教材P39～P40例1以上部分，完成下列问题【教学建议】合理利用教材上的导入课程进行导

2、入。提问和互动，进行概念辨析和公式推导。与椭圆方程进行对比辨析。二、知识讲解考点1双曲线的定义【教学建议】双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于

3、

4、）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜

5、

6、，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=

7、

8、，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞

9、

10、，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.考点2双曲线的标准方程标准

11、方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中

12、

13、=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线

14、的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或考点3双曲线的几何性质1.双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨

15、迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.4.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.5.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；6.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.标准方程性质图形性质焦点焦距范围对称轴轴，轴对称中心原点顶点轴实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；实半轴长:，虚半轴长：离心率渐近线三、例题精析类型一双

16、曲线的标准方程例题1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在轴上．【解答】(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为∴点在双曲线上，解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为将P，Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为法二：设双曲线方程为∵P，Q两点在双曲线上，解得∴所求双曲线的标准方程为(2)法一：依题意可设双曲线方程为依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为法二：∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为，(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，

17、∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是【教学建议】解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．【教学建议】1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定的具体数值，常根据条件列方程求解例题21．

18、已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点坐标为，故可设双曲线的方程为.由题意，知解得故双曲线的方程为类型二双曲线标准方程的讨论例题1(1)如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是________．(2)“ab<0”是“方程表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取