双曲线的标准方程及简单的几何性质

双曲线的标准方程及简单的几何性质

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1、双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程   学习目标   1、掌握双曲线的定义,理解双曲线标准方程的推导,能根据条件确定双曲线的标准方程。   2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。   3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法,特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。   4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。   5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。   重点难点   重点:双曲线的定义及其标准方程;   难点:1、双曲线标

2、准方程的推导;2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。   例题分析第一阶梯   [例1]已知两定点F1(-5,0)、F2(5,0),求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。   分析:根据双曲线的定义可知,动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线,又由焦点位置可知,所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。   解:   由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为,这里2a=6,2c=10.30      变题:如将本题条件中的6改为10,其余条件不变,求解本题。   解:由

3、条件可知,所求点的轨迹是两条射线,其方程为y=0(x≤-5或x≥5)   注意:在求解轨迹方程的问题时,要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线,如是已经研究过的曲线,则可用曲线的标准方程去求解。   [例2]   分析:分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。   证明:易得椭圆的两个焦点为(-4,0)、(4,0),双曲线的两个焦点也为(-4,0)、(4,0)。   [例3]      分析   迹是以B、C为两焦点,实轴长为6的双曲线的左支。   解:在△ABC中,

4、BC

5、=10,      故项

6、点A的轨迹是以B、C为两焦点,实轴长为6的双曲线的左支。   30第二阶梯   [例4]       A、1                     C、2              解:   +

7、PF2

8、2-

9、PF1

10、

11、PF2

12、=16,因为∠F1PF2=90°,所以

13、PF1

14、2+

15、PF2

16、2=

17、F1F2

18、2=(2c)2=20.所以    评注:本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。   [例5]在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=90°,求以M、N为焦点,且过点P的双曲线方程。   思路

19、分析:首先应建立适当的坐标系,由于M、N为焦点,所以如图建立直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知

20、

21、PM

22、-

23、PN

24、

25、=2a,

26、MN

27、=c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键。         30   解答:      ∴设

28、PN

29、=3k,

30、PM

31、=4k,则

32、MN

33、=5k,   由3k+4k+5k=48,得k=4.   ∴

34、PN

35、=12,

36、PM

37、=16,

38、MN

39、=20.       由

40、PM

41、-

42、PN

43、=4,得2a=4,a=2,a2=4.   由

44、MN

45、=20,得2c=20,c=10.

46、          [例6]       思路分析:利用双曲线的定义求解。   解答:      由P是双曲线上一点,得

47、

48、PF1

49、-

50、PF2

51、

52、=16。   ∴

53、PF2

54、=1或

55、PF2

56、=33。   又

57、PF2

58、≥c-a=2,得

59、PF2

60、=33.30第三阶梯   [例7]   交点,则

61、PF1

62、·

63、PF2

64、的值是()                    思路分析:椭圆和双曲线有共同焦点,P在椭圆上又在双曲线上,可根据定义得到

65、PF1

66、和

67、PF2

68、的关系式,再变形得结果。   解答:           

69、两式平方相减,得4

70、PF1

71、·

72、PF2

73、=4(m-s),故

74、PF1

75、·

76、PF2

77、=m-s。故选A。   [例8]       解:   由题意得F1(-5,0),F2(5,0)。设点P的坐标为(x0,y0)   又PF1⊥PF2,则

78、PF1

79、2+

80、PF2

81、2=

82、F1F2

83、2,30      评注:本题考查双曲线的方程等基础知识。   [例9]已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心的轨迹方法。   分析:设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(

84、-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.

85、PC1

86、=r+7,

87、PC2

88、=r+1,

89、PC1

90、-

91、PC2

92、=6。   解:    设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.

93、PC1

94、=r+7,

95、PC2

96、=r+1,

97、PC1

98、-

99、PC2

100、=6,则动圆圆心P的轨迹方程为   四、检测题   1、ax2+by2=b(ab<0),则这曲线是()   A、双曲线焦

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