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1、双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程 学习目标 1、掌握双曲线的定义,理解双曲线标准方程的推导,能根据条件确定双曲线的标准方程。 2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。 3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法,特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。 4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。 重点难点 重点:双曲线的定义及其标准方程; 难点:1、双曲线标
2、准方程的推导;2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 例题分析第一阶梯 [例1]已知两定点F1(-5,0)、F2(5,0),求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。 分析:根据双曲线的定义可知,动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线,又由焦点位置可知,所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。 解: 由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为,这里2a=6,2c=10.30 变题:如将本题条件中的6改为10,其余条件不变,求解本题。 解:由
3、条件可知,所求点的轨迹是两条射线,其方程为y=0(x≤-5或x≥5) 注意:在求解轨迹方程的问题时,要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线,如是已经研究过的曲线,则可用曲线的标准方程去求解。 [例2] 分析:分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。 证明:易得椭圆的两个焦点为(-4,0)、(4,0),双曲线的两个焦点也为(-4,0)、(4,0)。 [例3] 分析 迹是以B、C为两焦点,实轴长为6的双曲线的左支。 解:在△ABC中,
4、BC
5、=10, 故项
6、点A的轨迹是以B、C为两焦点,实轴长为6的双曲线的左支。 30第二阶梯 [例4] A、1 C、2 解: +
7、PF2
8、2-
9、PF1
10、
11、PF2
12、=16,因为∠F1PF2=90°,所以
13、PF1
14、2+
15、PF2
16、2=
17、F1F2
18、2=(2c)2=20.所以 评注:本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。 [例5]在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=90°,求以M、N为焦点,且过点P的双曲线方程。 思路
19、分析:首先应建立适当的坐标系,由于M、N为焦点,所以如图建立直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知
20、
21、PM
22、-
23、PN
24、
25、=2a,
26、MN
27、=c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键。 30 解答: ∴设
28、PN
29、=3k,
30、PM
31、=4k,则
32、MN
33、=5k, 由3k+4k+5k=48,得k=4. ∴
34、PN
35、=12,
36、PM
37、=16,
38、MN
39、=20. 由
40、PM
41、-
42、PN
43、=4,得2a=4,a=2,a2=4. 由
44、MN
45、=20,得2c=20,c=10.
46、 [例6] 思路分析:利用双曲线的定义求解。 解答: 由P是双曲线上一点,得
47、
48、PF1
49、-
50、PF2
51、
52、=16。 ∴
53、PF2
54、=1或
55、PF2
56、=33。 又
57、PF2
58、≥c-a=2,得
59、PF2
60、=33.30第三阶梯 [例7] 交点,则
61、PF1
62、·
63、PF2
64、的值是() 思路分析:椭圆和双曲线有共同焦点,P在椭圆上又在双曲线上,可根据定义得到
65、PF1
66、和
67、PF2
68、的关系式,再变形得结果。 解答:
69、两式平方相减,得4
70、PF1
71、·
72、PF2
73、=4(m-s),故
74、PF1
75、·
76、PF2
77、=m-s。故选A。 [例8] 解: 由题意得F1(-5,0),F2(5,0)。设点P的坐标为(x0,y0) 又PF1⊥PF2,则
78、PF1
79、2+
80、PF2
81、2=
82、F1F2
83、2,30 评注:本题考查双曲线的方程等基础知识。 [例9]已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心的轨迹方法。 分析:设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(
84、-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.
85、PC1
86、=r+7,
87、PC2
88、=r+1,
89、PC1
90、-
91、PC2
92、=6。 解: 设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.
93、PC1
94、=r+7,
95、PC2
96、=r+1,
97、PC1
98、-
99、PC2
100、=6,则动圆圆心P的轨迹方程为 四、检测题 1、ax2+by2=b(ab<0),则这曲线是() A、双曲线焦