双曲线的标准方程及简单性质

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1、双曲线及其标准方程双曲线的定义:平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a点的集合叫做双曲线。F1,F2-----焦点

2、

3、MF1

4、-

5、MF2

6、

7、=2a

8、F1F2

9、-----焦距.F2.F1Myox注意：对于双曲线定义须抓住两点：一是平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；二是这个常数要小于

10、F1F2

11、M请思考？1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于

12、F1F2

13、）的集合是什么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于

14、F1F2

15、）的集合是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于

16、F1F2

17、）的轨迹是什么？双曲线的一支是在直线

18、F1F2上且以F1、F2为端点向外的两条射线不存在相关结论：1、当

19、

20、MF1

21、-

22、MF2

23、

24、=2a<

25、F1F2

26、时2、当

27、

28、MF1

29、-

30、MF2

31、

32、=2a=

33、F1F2

34、时，3、当

35、

36、MF1

37、-

38、MF2

39、

40、=2a>

41、F1F2

42、时,M点的轨迹不存在4、当

43、

44、MF1

45、-

46、MF2

47、

48、=2a=0时，P点轨迹是双曲线其中当

49、MF1

50、-

51、MF2

52、

53、=2a时，M点轨迹是与F2对应的双曲线的一支；当

54、MF2

55、-

56、MF1

57、=2a时，M点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.M点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。xyo设M（x,y）,双曲线的焦距

58、为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为2aF1F2M即(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+2a_以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系1.建系.2.设点．3.列式．

59、MF1

60、-

61、MF2

62、=2a如何求这优美的曲线的方程？4.化简.F1F2xOy焦点在y轴上的双曲线的标准方程想一想F2F1yxo？？？F1(0,-c),F2(0,c),焦点位置确定：椭圆看分母大小双曲线看x2、y2的系数正负焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，当x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴

63、上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。注：例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1)a=_______,c=_______,b=_______(2)双曲线的标准方程为______________(3)双曲线上一点Ｐ，

64、PF1

65、=10,则

66、PF2

67、=_________3544或16

68、

69、PF1

70、-

71、PF2

72、

73、=6例2、已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的∵2a=62c=10∴a

74、=3c=5∴b2=52-32=16∴所求双曲线的标准方程为标准方程为例3：k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是（)解：原方程化为：A、焦点在x轴上的椭圆C、焦点在y轴上的椭圆B、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在x轴上的双曲线∵k>0∴k2+1>01+k>0∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。故选（B）课堂练习：1、已知点F1(-8,3)、F2(2,3)，动点P满足

75、PF1

76、-

77、PF2

78、=10，则P点的轨迹是()A、双曲线B、双曲线一支C、直线D、一条射线2、若椭圆与双曲线的焦点相同,则a=3D3、说明下列方程各表示什么曲线。方程表示的曲线是双曲线

79、方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。双曲线的简单几何性质一.双曲线的简单几何性质yB2A1A2B1xObaMNQ1.范围:两直线x=±a的外侧2.对称性:关于x轴,y轴,原点对称;原点是双曲线的对称中心;对称中心叫双曲线的中心3.顶点::(1)双曲线与x轴的两个交A(-a,0),A(a,0)叫双曲线的顶点12(2)实轴:线段AA实轴长:2a虚轴:线段BB虚轴长:2b1212一.双曲线的简单几何性质yB2A1A2B1xObaMNQ4.渐进线:(1)渐进线的确定:矩形的对角线(2)直线的方程:y=±x推理证明

80、:双曲线方程可变为当x时，方程近似变为y=,即双曲线上的点无限接近直线y=一.双曲线的简单几何性质(1)概念:焦距与实轴长之比yB2A1A2B1xObaMNQ5.离心率(2)定义式:e=(3)范围:e>1(c>a)(4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.二.应用举例:例1.求双曲线9y–16x=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22故渐进线方程为:y=±－x解:把方程化成标准方程:－-－=1y16x922故实半轴长a=4,虚半轴长b=3∴c=