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1、曲线和方程练习题一、选择题1、（2014·高考文科·Ｔ3）抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【解题提示】将抛物线化为标准形式即可得出。【解析】选A。，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则= ( )A.B.6C.12D.【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解.【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以
2、m+n=6.AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.3.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B.C.D.【解题提示】将三角形OAB的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以m+n=6.所以S△OAB=·(m+n)=.故选D.4.（2014·高考理科·
3、Ｔ10）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【解题提示】设AB方程：联立结合求出m求的最小值【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.5.（2014·高考文科·Ｔ10）与（2014·高考理科·Ｔ10）相同已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【解题提示】设AB方程：联立结合求
4、出m求的最小值【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.6.（2014·高考理科·Ｔ10）已知点在抛物线的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为【解题提示】由抛物线的定义知的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线的斜率【解析】选Ｄ.根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点．设切点，由题意，在第一象限．由导数的几何意义可知切线的斜率为，而切线的斜率也可以为
5、又因为切点在曲线上，所以．由上述条件解得．即．从而直线的斜率为．二、填空题1.（2014·高考理科·Ｔ15）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过【解题提示】有正方形的边长给出点C,F的坐标带入抛物线方程求解。【解析】由题可得，，则。答案:3.2.（2014·高考理科·Ｔ4）【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出p的值，即得抛物线的准线方程.【解析】根据椭圆的右焦点坐标F(2，0)得p=4,所以抛物线的准线方程为x=-2.答案：x=-2.3.（2014·高考文科·Ｔ15）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近
6、线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出a,b之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为，得，渐近线方程为，.答案：4.(2014·高考文科·T11)抛物线y2=4x的准线方程为 .【解题指南】根据抛物线y2=2px的准线方程为x=-可以得到所求准线方程.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.答案:x=-1三、解答题1.（2014·高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2
7、）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【解题指南】（1）由题意曲线符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点P的坐标表示直线的方程，求出点A，点M的坐标，进而求出圆C的圆心和半径，表示出AB的长，经过计算为定值．【解析】.方法一（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离
